Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 7, maj 2017, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) zachodzi nierówność
\[x^2y^2+2x^2+2y^2-8xy+4>0.\]
Odpowiedź
Nierówność zachodzi dla wszystkich różnych \(x,y\in\mathbb R\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy lewą stronę:
\[x^2y^2+2x^2+2y^2-8xy+4=(xy-2)^2+2(x-y)^2.\]
Pierwszy składnik jest nieujemny. Ponieważ \(x\neq y\), drugi składnik jest dodatni, więc ich suma jest dodatnia.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełne rozumowanie z wykorzystaniem założenia \(x\neq y\)
**2 pkt** – zapisanie \((xy-2)^2+2(x-y)^2>0\) bez pełnego uzasadnienia
**1 pkt** – istotny postęp prowadzący do sumy kwadratów
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
wzory skróconego mnożenia i przekształcanie wyrażeń algebraicznych.
