Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 15, maj 2015, poziom rozszerzony
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu
\[W(x)=x^3+ax^2+bx+c\]
jest równa \(0\). Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(3\). Oblicz współczynniki \(a,b,c\). Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
Odpowiedź
\[(a,b,c)=(-12,39,-28),\quad(-3,-6,8),\quad(6,3,-10).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Suma współczynników jest równa \(W(1)\), więc z warunku \(1+a+b+c=0\) wynika, że \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu. Ponieważ trzy pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(3\), możliwe są dokładnie trzy zestawy:
\[(1,4,7),\qquad(-2,1,4),\qquad(-5,-2,1).\]
Dla pierwszego:
\[W(x)=(x-1)(x-4)(x-7)=x^3-12x^2+39x-28.\]
Dla drugiego:
\[W(x)=(x+2)(x-1)(x-4)=x^3-3x^2-6x+8.\]
Dla trzeciego:
\[W(x)=(x+5)(x+2)(x-1)=x^3+6x^2+3x-10.\]
Otrzymujemy zatem trzy trójki współczynników podane w odpowiedzi.
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – trzy poprawne trójki współczynników
**5 pkt** – poprawna metoda i dwie pełne trójki, z drobnym błędem w trzecim przypadku
**4 pkt** – wskazanie trzech możliwych zestawów pierwiastków i poprawne rozwinięcie co najmniej jednego iloczynu
**3 pkt** – wyznaczenie trzech możliwych zestawów pierwiastków
**2 pkt** – zauważenie, że \(W(1)=0\), oraz zapisanie ogólnej postaci ciągu pierwiastków
**1 pkt** – stwierdzenie, że \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
5. Ciągi - ciąg arytmetyczny (5.3)
3. Równania i nierówności - własność iloczynu i postać iloczynowa wielomianu (3.7).
