Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 14, maj 2015, poziom rozszerzony
Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Krawędź boczna \(SD\) jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi \(ABS\) i \(CBS\) tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[\sin\alpha=\frac{2\sqrt6}{5}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech krawędź podstawy ma długość \(a\), wtedy \(SD=2a\). Przyjmijmy współrzędne
\[D=(0,0,0),\ A=(a,0,0),\ C=(0,a,0),\ B=(a,a,0),\ S=(0,0,2a).\]
Wektory normalne do płaszczyzn \(ABS\) i \(CBS\) można wybrać odpowiednio jako
\[\vec n_1=(2,0,1),\qquad \vec n_2=(0,-2,-1).\]
Zatem cosinus ostrego kąta między płaszczyznami wynosi
\[|\cos\alpha|=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}=\frac15.\]
Wobec tego
\[\sin\alpha=\sqrt{1-\frac1{25}}=\frac{2\sqrt6}{5}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawny wynik \(\frac{2\sqrt6}{5}\)
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie cosinusa kąta między ścianami z drobnym błędem końcowym
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie danych potrzebnych do obliczenia kąta, np. wektorów normalnych albo wysokości ścian
**2 pkt** – obliczenie długości \(SA=SC=a\sqrt5\) i \(SB=a\sqrt6\)
**1 pkt** – poprawny model geometryczny i przyjęcie \(SD=2a\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
9. Stereometria - stosowanie trygonometrii do obliczania miar kątów i długości w bryłach (9.6).
