Stereometria
Zadanie 16, maj 2015, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie \(20\). Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Odpowiedź
\[r=4,\qquad h=2\sqrt5,\qquad V_{\max}=\frac{32\sqrt5\pi}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(r\) będzie promieniem podstawy, \(h\) wysokością, a \(l\) tworzącą stożka. Obwód przekroju osiowego wynosi \(2r+2l=20\), więc \(l=10-r\). Z twierdzenia Pitagorasa
\[h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{100-20r},\qquad 0<r<5.\]
Objętość jest równa
\[V(r)=\frac13\pi r^2\sqrt{100-20r}.\]
Ponieważ pierwiastek jest funkcją rosnącą, wystarczy maksymalizować
\[F(r)=100r^4-20r^5.\]
Mamy
\[F'(r)=400r^3-100r^4=100r^3(4-r).\]
Pochodna jest dodatnia dla \(0<r<4\) i ujemna dla \(4<r<5\), zatem maksimum występuje dla \(r=4\). Wtedy
\[h=\sqrt{100-80}=2\sqrt5,\]
\[V_{\max}=\frac13\pi\cdot4^2\cdot2\sqrt5=\frac{32\sqrt5\pi}{3}.\]
Klucz i zasady oceniania
**7 pkt** – poprawne wartości \(r=4\), \(h=2\sqrt5\) i \(V_{\max}=\frac{32\sqrt5\pi}{3}\)
**6 pkt** – pełne uzasadnienie maksimum dla \(r=4\) z drobnym błędem końcowym
**5 pkt** – poprawna analiza znaku pochodnej i wskazanie maksimum
**4 pkt** – poprawne obliczenie pochodnej funkcji pomocniczej
**3 pkt** – poprawna funkcja objętości i dziedzina \(0<r<5\)
**2 pkt** – wyrażenie \(h=\sqrt{100-20r}\) i objętości przez \(r\)
**1 pkt** – zapisanie \(l=10-r\) i zależności Pitagorasa
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
11. Rachunek różniczkowy - stosowanie pochodnych w zagadnieniach optymalizacyjnych (R11.6).
