Liczby rzeczywiste
Zadanie 5, maj 2009, poziom podstawowy
Wielomian \(W\) dany jest wzorem \(W(x)=x^3+ax^2-4x+b\).
a) Wyznacz \(a\), \(b\) oraz \(c\) tak, aby wielomian \(W\) był równy wielomianowi \(P\), gdy \(P(x)=x^3+(2a+3)x^2+(a+b+c)x-1\).
b) Dla \(a=3\) i \(b=0\) zapisz wielomian \(W\) w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
Odpowiedź
a) \(a=-3\), \(b=-1\), \(c=0\).
b) \(W(x)=x(x+4)(x-1)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki przy odpowiadających sobie potęgach zmiennej. Porównujemy współczynniki wielomianów
\[W(x)=x^3+ax^2-4x+b,\qquad P(x)=x^3+(2a+3)x^2+(a+b+c)x-1.\]
Przy \(x^2\): \(a=2a+3\), więc \(a=-3\).
Przy wyrazie wolnym: \(b=-1\).
Przy \(x\): \(-4=a+b+c=-3-1+c\), zatem \(c=0\).
**b)** Dla \(a=3\) i \(b=0\) mamy \(W(x)=x^3+3x^2-4x\). Wyłączamy \(x\) przed nawias i rozkładamy trójmian:
\[W(x)=x\left(x^2+3x-4\right)=x(x+4)(x-1).\]
Sprawdzenie: \(x(x+4)(x-1)=x(x^2+3x-4)=x^3+3x^2-4x\).
**Odpowiedź.** a) \(a=-3\), \(b=-1\), \(c=0\). b) \(W(x)=x(x+4)(x-1)\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Model odpowiedzi CKE dla arkusza podstawowego maj 2009 nie jest dostępny w tym wydaniu bazy, dlatego progów punktowych nie podajemy.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
