Równania i nierówności
Zadanie 4, maj 2009, poziom podstawowy
Wykaż, że liczba \(3^{54}\) jest rozwiązaniem równania \(243^{11}-81^{14}+7x=9^{27}\).
Odpowiedź
Teza wynika ze sprowadzenia wszystkich potęg do podstawy \(3\): \(243^{11}-81^{14}+7\cdot 3^{54}=3^{55}-3^{56}+7\cdot 3^{54}=3^{54}(3-9+7)=3^{54}=9^{27}\), więc liczba \(3^{54}\) spełnia to równanie (dowód w rozwiązaniu).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę zadania. Polecenie brzmi „wykaż, że liczba \(3^{54}\) jest rozwiązaniem” — nie musimy więc rozwiązywać równania, wystarczy wstawić tę liczbę w miejsce \(x\) i sprawdzić, że lewa strona zrówna się z prawą. Kluczowa obserwacja: liczby \(243\), \(81\) i \(9\) to potęgi trójki, więc wszystko sprowadzimy do wspólnej podstawy \(3\).
**Krok \(2\).** Zapisujemy podstawy jako potęgi trójki:
\[243=3^5,\qquad 81=3^4,\qquad 9=3^2.\]
**Krok \(3\).** Korzystamy ze wzoru \((a^m)^n=a^{mn}\):
\[243^{11}=\left(3^5\right)^{11}=3^{55},\qquad 81^{14}=\left(3^4\right)^{14}=3^{56},\qquad 9^{27}=\left(3^2\right)^{27}=3^{54}.\]
**Krok \(4\).** Wstawiamy \(x=3^{54}\) do lewej strony równania:
\[L=243^{11}-81^{14}+7\cdot 3^{54}=3^{55}-3^{56}+7\cdot 3^{54}.\]
**Krok \(5\).** Wyłączamy wspólny czynnik \(3^{54}\). Ponieważ \(3^{55}=3^{54}\cdot 3\) oraz \(3^{56}=3^{54}\cdot 3^2=3^{54}\cdot 9\), mamy
\[L=3^{54}\cdot 3-3^{54}\cdot 9+3^{54}\cdot 7=3^{54}\left(3-9+7\right).\]
**Krok \(6\).** Liczymy nawias: \(3-9+7=1\), więc
\[L=3^{54}\cdot 1=3^{54}.\]
**Krok \(7\).** Prawa strona to \(P=9^{27}=3^{54}\). Zatem \(L=P\), czyli liczba \(3^{54}\) rzeczywiście spełnia dane równanie, co należało wykazać.
**Uwaga.** Nie daj się skusić na rozwiązywanie równania „od zera” (czyli wyznaczanie \(x=\frac{9^{27}-243^{11}+81^{14}}{7}\)) — to droższa droga, a i tak trzeba by sprowadzić wszystko do podstawy \(3\). Przy zadaniach typu „wykaż, że liczba jest rozwiązaniem” wystarczy podstawienie i sprawdzenie równości. Uważaj też przy wyłączaniu czynnika: \(3^{56}\) to \(3^{54}\cdot 9\), a nie \(3^{54}\cdot 2\).
**Odpowiedź.** Teza wynika ze sprowadzenia wszystkich potęg do podstawy \(3\): \(243^{11}-81^{14}+7\cdot 3^{54}=3^{55}-3^{56}+7\cdot 3^{54}=3^{54}(3-9+7)=3^{54}=9^{27}\), więc liczba \(3^{54}\) spełnia to równanie (dowód w rozwiązaniu).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
