Liczby rzeczywiste
Zadanie 6, maj 2009, poziom podstawowy
Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa \(\alpha\).
a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność \(\sin\alpha-\tan\alpha<0\).
b) Dla \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt2}{3}\) oblicz wartość wyrażenia \(\cos^3\alpha+\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha\).
Odpowiedź
a) Dla kąta ostrego \(\alpha\) zachodzi \(\sin\alpha<\operatorname{tg}\alpha\), czyli \(\sin\alpha-\operatorname{tg}\alpha<0\).
b) \(\cos^3\alpha+\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha=\frac13\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Kąt \(\alpha\) jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, więc \(\sin\alpha>0\) oraz \(0<\cos\alpha<1\). Z definicji tangensa
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.\]
Zatem
\[\sin\alpha-\operatorname{tg}\alpha=\sin\alpha-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\sin\alpha\cdot\frac{\cos\alpha-1}{\cos\alpha}.\]
Czynnik \(\sin\alpha\) jest dodatni, mianownik \(\cos\alpha\) jest dodatni, a licznik \(\cos\alpha-1\) jest ujemny, bo \(\cos\alpha<1\). Iloczyn jest więc ujemny, co kończy uzasadnienie.
**b)** Wyłączamy \(\cos\alpha\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
\[\cos^3\alpha+\cos\alpha\sin^2\alpha=\cos\alpha\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)=\cos\alpha.\]
Dla \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt2}{3}\) oraz \(\alpha\) ostrego mamy \(\cos\alpha>0\), więc
\[\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac89}=\sqrt{\frac19}=\frac13.\]
**Odpowiedź.** a) Nierówność zachodzi dla każdego kąta ostrego. b) Wartość wyrażenia jest równa \(\frac13\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Model odpowiedzi CKE dla arkusza podstawowego maj 2009 nie jest dostępny w tym wydaniu bazy, dlatego progów punktowych nie podajemy.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
