Potęgi i pierwiastki
Zadanie 9, maj 2007, poziom rozszerzony
Przedstaw wielomian
\[W(x)=x^4-2x^3-3x^2+4x-1\]
w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.
Odpowiedź
\(W(x)=\left(x^{2}+x-1\right)\left(x^{2}-3x+1\right)\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie: mamy rozłożyć wielomian stopnia czwartego na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych o współczynniku \(1\) przy \(x^2\). Wielomian nie ma pierwiastków wymiernych, których łatwo się domyślić, więc zamiast szukać pierwiastków stosujemy sztuczkę: doprowadzamy \(W(x)\) do RÓŻNICY KWADRATÓW, którą potem rozkładamy wzorem \(p^2-q^2=(p-q)(p+q)\). Podpowiedzią jest początek wielomianu: \(x^4-2x^3\) to dokładnie początek rozwinięcia \((x^2-x)^2\).
**Krok \(2\).** Sprawdzamy, ile brakuje do pełnego kwadratu:
\[(x^2-x)^2=x^4-2x^3+x^2.\]
W naszym wielomianie przy \(x^2\) stoi \(-3\), więc zapisujemy \(-3x^2=x^2-4x^2\) i grupujemy:
\[W(x)=\underbrace{x^4-2x^3+x^2}_{(x^2-x)^2}-4x^2+4x-1.\]
**Krok \(3\).** Zostałą część też zwijamy do kwadratu:
\[-4x^2+4x-1=-(4x^2-4x+1)=-(2x-1)^2.\]
**Krok \(4\).** Otrzymujemy różnicę kwadratów:
\[W(x)=(x^2-x)^2-(2x-1)^2.\]
**Krok \(5\).** Stosujemy wzór \(p^2-q^2=(p+q)(p-q)\) dla \(p=x^2-x\) i \(q=2x-1\):
\[W(x)=\big(x^2-x+2x-1\big)\cdot\big(x^2-x-(2x-1)\big)=(x^2+x-1)(x^2-3x+1).\]
**Krok \(6\).** Sprawdzamy przez wymnożenie:
\[(x^2+x-1)(x^2-3x+1)=x^4-3x^3+x^2+x^3-3x^2+x-x^2+3x-1=x^4-2x^3-3x^2+4x-1.\]
Zgadza się z \(W(x)\). Oba czynniki są stopnia drugiego, mają współczynnik \(1\) przy \(x^2\) i wszystkie współczynniki całkowite — warunki zadania są spełnione.
**Uwaga.** Jeśli nie widzimy sztuczki z różnicą kwadratów, można użyć metody współczynników nieoznaczonych: zakładamy \(W(x)=(x^2+px+q)(x^2+rx+s)\) z całkowitymi \(p,q,r,s\), wymnażamy i porównujemy współczynniki. Z wyrazu wolnego \(qs=-1\), więc przy założeniu całkowitości \(\{q,s\}=\{1,-1\}\) — to od razu mocno ogranicza poszukiwania i prowadzi do tego samego rozkładu. Trzeba jednak pamiętać, że sam warunek „stopnia drugiego” nie wystarcza — treść żąda dodatkowo współczynników CAŁKOWITYCH i jedynek przy \(x^2\).
**Odpowiedź.** \(W(x)=\left(x^{2}+x-1\right)\left(x^{2}-3x+1\right)\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Dany wielomian \(W(x)=x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+4x-1\) przedstawiam w takiej postaci, aby można było zastosować wzory skróconego mnożenia: \(W(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-4x^{2}+4x-1\).
Grupuję wyrazy i przedstawiam wyrażenie w postaci różnicy kwadratów dwóch wyrażeń: \(W(x)=\left(x^{2}-x\right)^{2}-(2x-1)^{2}\).
Wykorzystuję wzory skróconego mnożenia do rozkładu wielomianu na iloczyn dwóch wielomianów stopnia drugiego:
\[W(x)=\left(x^{2}-x\right)^{2}-(2x-1)^{2}=\left(x^{2}-x+2x-1\right)\cdot\left(x^{2}-x-2x+1\right)=\left(x^{2}+x-1\right)\cdot\left(x^{2}-3x+1\right).\]
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
