Ciąg arytmetyczny
Zadanie 11, maj 2007, poziom rozszerzony
Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) wyraża się wzorem
\[S_n=2n^2+n\qquad\text{dla }n\geqslant1.\]
a) Oblicz sumę \(50\) początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych:
\[a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{100}.\]
b) Oblicz
\[\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{3n^2-2}.\]
Odpowiedź
a) \(a_2+a_4+\ldots+a_{100}=10\,150\).
b) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{3n^{2}-2}=\frac23\).
Rozwiązanie krok po kroku
Najpierw wyznaczamy wzór ogólny: \(a_n=S_n-S_{n-1}\) dla \(n\geq2\), a więc
\[a_n=\left(2n^{2}+n\right)-\left(2(n-1)^{2}+(n-1)\right)=4n-1.\]
Dla \(n=1\) mamy \(a_1=S_1=3=4\cdot1-1\), więc wzór obowiązuje od początku.
**a)** Wyrazy o numerach parzystych to \(a_{2k}=8k-1\) dla \(k=1,2,\ldots,50\); tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy \(8\), pierwszym wyrazie \(a_2=7\) i ostatnim \(a_{100}=399\). Zatem
\[a_2+a_4+\ldots+a_{100}=\frac{(7+399)\cdot50}{2}=406\cdot25=10\,150.\]
**b)** W granicy ilorazu wielomianów tego samego stopnia decydują współczynniki przy najwyższej potędze:
\[\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+n}{3n^{2}-2}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac1n}{3-\frac2{n^{2}}}=\frac23.\]
**Odpowiedź.** a) \(10\,150\); b) \(\frac23\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
a) Wyznaczam wzór ogólny ciągu \((a_{n})\), korzystając z własności sum częściowych ciągów: \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\), \(a_{n}=2n^{2}+n-2(n-1)^{2}-n+1=4n-1\).
Wyznaczam wartość wyrazu \(a_{2}=7\) i różnicy ciągu \((a_{2},a_{4},\ldots,a_{100})\), \(r=8\).
Obliczam sumę \(n=50\) początkowych wyrazów ciągu o numerach parzystych: \(S_{50}=\frac{2\cdot 7+(50-1)\cdot 8}{2}\cdot 50=10150\).
b) Obliczam granicę ciągu \(\frac{S_{n}}{3n^{2}-2}\): \(\lim_{n\to\infty}\frac{S_{n}}{3n^{2}-2}=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+n}{3n^{2}-2}=\frac{2}{3}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
