Liczby rzeczywiste
Zadanie 7, maj 2007, poziom rozszerzony
Dany jest układ równań
\[\begin{cases}mx-y=2,\\x+my=m.\end{cases}\]
Dla każdej wartości parametru \(m\) wyznacz parę liczb \((x,y)\), która jest rozwiązaniem tego układu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy \(x+y\) dla \(m\in\langle2,4\rangle\).
Odpowiedź
\(x=\frac{3m}{m^2+1}\), \(y=\frac{m^2-2}{m^2+1}\) dla każdego \(m\in\mathbb{R}\); najmniejsza wartość sumy \(x+y\) dla \(m\in\langle2,4\rangle\) wynosi \(\frac{26}{17}\) i jest przyjmowana dla \(m=4\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie ma dwie części i dwa różne narzędzia. Najpierw rozwiązujemy układ z parametrem \(m\) metodą podstawiania — otrzymamy \(x\) i \(y\) jako wyrażenia zależne od \(m\). Potem suma \(x+y\) stanie się funkcją jednej zmiennej \(m\), a najmniejszej wartości funkcji na przedziale domkniętym szukamy przy użyciu pochodnej.
**Krok \(2\).** Z pierwszego równania \(mx-y=2\) wyznaczamy \(y=mx-2\).
**Krok \(3\).** Podstawiamy do drugiego równania: \[x+m(mx-2)=m,\qquad x+m^2x-2m=m,\qquad x(m^2+1)=3m.\] Ponieważ \(m^2+1\gt0\) dla każdego \(m\), możemy podzielić i otrzymujemy \[x=\frac{3m}{m^2+1}.\]
**Krok \(4\).** Wracamy do \(y=mx-2\): \[y=\frac{3m^2}{m^2+1}-2=\frac{3m^2-2(m^2+1)}{m^2+1}=\frac{m^2-2}{m^2+1}.\] Układ ma więc dokładnie jedno rozwiązanie dla każdej wartości \(m\).
**Krok \(5\).** Zapisujemy sumę jako funkcję parametru: \[f(m)=x+y=\frac{3m+m^2-2}{m^2+1}=\frac{m^2+3m-2}{m^2+1}.\]
**Krok \(6\).** Liczymy pochodną ze wzoru na pochodną ilorazu: \[f'(m)=\frac{(2m+3)(m^2+1)-(m^2+3m-2)\cdot2m}{(m^2+1)^2}.\] Licznik to \[2m^3+2m+3m^2+3-2m^3-6m^2+4m=-3m^2+6m+3,\] więc \(f'(m)=\dfrac{-3m^2+6m+3}{(m^2+1)^2}\).
**Krok \(7\).** Szukamy miejsc zerowych pochodnej. Mianownik jest dodatni, więc wystarczy \(-3m^2+6m+3=0\), czyli \(m^2-2m-1=0\). Stąd \(\Delta=4+4=8\), \(\sqrt{\Delta}=2\sqrt2\) i \(m=1-\sqrt2\) lub \(m=1+\sqrt2\). W przedziale \(\langle2,4\rangle\) leży tylko \(m=1+\sqrt2\approx2{,}41\).
**Krok \(8\).** Badamy znak pochodnej. Trójmian \(-3m^2+6m+3\) ma ujemny współczynnik przy \(m^2\), więc jest dodatni między pierwiastkami i ujemny poza nimi. Zatem \(f\) rośnie na \(\langle2,\,1+\sqrt2\rangle\) i maleje na \(\langle1+\sqrt2,\,4\rangle\). Wartość najmniejsza jest więc przyjmowana w jednym z końców przedziału.
**Krok \(9\).** Liczymy wartości na końcach: \[f(2)=\frac{4+6-2}{4+1}=\frac{8}{5},\qquad f(4)=\frac{16+12-2}{16+1}=\frac{26}{17}.\]
**Krok \(10\).** Porównujemy je, mnożąc na krzyż: \(8\cdot17=136\) oraz \(26\cdot5=130\), a \(130\lt136\), więc \(\frac{26}{17}\lt\frac85\). Najmniejszą wartością sumy jest \(f(4)=\frac{26}{17}\).
**Uwaga.** Pułapka jest w tym, że punkt \(m=1+\sqrt2\) to miejsce zerowe pochodnej, ale funkcja ma tam maksimum, a nie minimum. Gdy szukamy najmniejszej wartości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym, kandydatami są zarówno punkty krytyczne wewnątrz przedziału, jak i oba jego końce — i tutaj wygrywa koniec. Nie wolno więc odruchowo podstawić miejsca zerowego pochodnej do wzoru funkcji.
**Odpowiedź.** \(x=\frac{3m}{m^2+1}\), \(y=\frac{m^2-2}{m^2+1}\) dla każdego \(m\in\mathbb{R}\); najmniejsza wartość sumy \(x+y\) dla \(m\in\langle2,4\rangle\) wynosi \(\frac{26}{17}\) i jest przyjmowana dla \(m=4\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}mx-y=2\\ x+my=m\end{cases}\) dla każdego \(m\in R\) jest para liczb \(\begin{cases}x=\frac{3m}{m^{2}+1}\\ y=\frac{m^{2}-2}{m^{2}+1}\end{cases}\)
Sumę \(x+y\) zapisuję w postaci funkcji \(f(m)=\frac{m^{2}+3m-2}{m^{2}+1}\), \(m\in R\).
Aby znaleźć najmniejszą wartość sumy w danym przedziale obliczam pochodną funkcji \(f\): \(f^{\prime}(m)=\frac{-3m^{2}+6m+3}{\left(m^{2}+1\right)^{2}}\), \(m\in R\).
Obliczam miejsca zerowe pochodnej funkcji \(f\): \(f^{\prime}(m)=0\) gdy \(-3m^{2}+6m+3=0\).
Rozwiązaniami równania są liczby: \(m_{1}=1-\sqrt{2}\), \(m_{2}=1+\sqrt{2}\), przy czym \(m_{1}\notin\langle 2,4\rangle\).
Badam znak pochodnej w przedziale \(\langle 2,4\rangle\):
Ponieważ \(f^{\prime}(m)>0\) dla \(m\in\left\langle 2,\,1+\sqrt{2}\right)\), więc funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale \(\left\langle 2,\,1+\sqrt{2}\right)\). Ponieważ \(f^{\prime}(m)<0\) dla \(m\in\left(1+\sqrt{2},\,4\right\rangle\), więc funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \(\left(1+\sqrt{2},\,4\right\rangle\).
Stąd wnioskuję, że funkcja \(f\) przyjmuje najmniejszą wartość w jednym z końców przedziału \(\langle 2,4\rangle\).
Obliczam wartość funkcji \(f\) na końcach przedziału: \(f(2)=\frac{8}{5}\) oraz \(f(4)=\frac{26}{17}\) i porównuję otrzymane liczby.
Najmniejszą wartością sumy \(x+y\) jest \(f(4)=\frac{26}{17}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
