Liczby rzeczywiste
Zadanie 6, maj 2007, poziom podstawowy
Dany jest wielomian
\[W(x)=2x^3+ax^2-14x+b.\]
a) Dla \(a=0\) i \(b=0\) otrzymamy wielomian \(W(x)=2x^3-14x\). Rozwiąż równanie
\[2x^3-14x=0.\]
b) Dobierz wartości \(a\) i \(b\) tak, aby wielomian \(W(x)\) był podzielny jednocześnie przez \(x-2\) oraz przez \(x+3\).
Odpowiedź
a) \(x=-\sqrt7\), \(x=0\), \(x=\sqrt7\). b) \(a=0\), \(b=12\), czyli \(W(x)=2x^3-14x+12\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie składa się z dwóch niezależnych części. W a) mamy równanie trzeciego stopnia bez wyrazu wolnego — wtedy zawsze wyłączamy \(x\) przed nawias i korzystamy z tego, że iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem. W b) korzystamy z twierdzenia o podzielności wielomianu przez dwumian: \(W(x)\) dzieli się przez \(x-r\) dokładnie wtedy, gdy \(W(r)=0\).
**Krok \(2\).** Część a). Wyłączamy wspólny czynnik:
\[2x^3-14x=2x\left(x^2-7\right)=0.\]
**Krok \(3\).** Czynnik \(x^2-7\) rozkładamy według wzoru na różnicę kwadratów, bo \(7=\left(\sqrt7\right)^2\):
\[2x\left(x-\sqrt7\right)\left(x+\sqrt7\right)=0.\]
**Krok \(4\).** Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników, więc \(x=0\) lub \(x=\sqrt7\), lub \(x=-\sqrt7\).
**Krok \(5\).** Część b). Podzielność przez \(x-2\) daje warunek \(W(2)=0\), a podzielność przez \(x+3=x-(-3)\) daje warunek \(W(-3)=0\). Mamy więc dwa równania z niewiadomymi \(a\) i \(b\).
**Krok \(6\).** Liczymy \(W(2)\) dla \(W(x)=2x^3+ax^2-14x+b\):
\[2\cdot8+a\cdot4-14\cdot2+b=16+4a-28+b=0,\qquad\text{czyli}\qquad 4a+b=12.\]
**Krok \(7\).** Liczymy \(W(-3)\):
\[2\cdot(-27)+a\cdot9-14\cdot(-3)+b=-54+9a+42+b=0,\qquad\text{czyli}\qquad 9a+b=12.\]
**Krok \(8\).** Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \(5a=0\), więc \(a=0\), a stąd \(b=12\). Sprawdzenie dla \(W(x)=2x^3-14x+12\): \(W(2)=16-28+12=0\) oraz \(W(-3)=-54+42+12=0\).
**Uwaga.** W punkcie b) do dwumianu \(x+3\) podstawiamy \(x=-3\) (bo \(x+3=x-(-3)\)), a nie \(x=3\). W punkcie a) nie wolno skracać równania przez \(x\), bo stracilibyśmy pierwiastek \(x=0\).
**Odpowiedź.** a) \(x=-\sqrt7\), \(x=0\), \(x=\sqrt7\). b) \(a=0\) i \(b=12\), czyli \(W(x)=2x^3-14x+12\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**Zadanie 6.** (\(4\) pkt)
Dany jest wielomian \(W(x)=2x^{3}+ax^{2}-14x+b\).
a) Dla \(a=0\) i \(b=0\) otrzymamy wielomian \(W(x)=2x^{3}-14x\). Rozwiąż równanie \(2x^{3}-14x=0\).
b) Dobierz wartości \(a\) i \(b\) tak, aby wielomian \(W(x)\) był podzielny jednocześnie przez \(x-2\) oraz przez \(x+3\).
a) Rozwiązuję równanie: \(2x^{3}-14x=0\)
\(2x\left(x^{2}-7\right)=0\)
\(2x\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)=0\)
z zapisanej postaci iloczynowej odczytuję rozwiązania równania: \(x_{1}=0\), \(x_{2}=\sqrt{7}\), \(x_{3}=-\sqrt{7}\).
b) Aby znaleźć wartość współczynników \(a\) i \(b\) korzystam z twierdzenia o podzielności wielomianu przez dwumian, z którego wynika, że: \(W(2)=0\) oraz \(W(-3)=0\).
Otrzymuję układ równań: \(\begin{cases}16+4a-28+b=0\\ -54+9a+42+b=0\end{cases}\), z którego wyznaczam \(a\) i \(b\).
\(\begin{cases}4a+b=12\\ 9a+b=12\end{cases}\)
Rozwiązanie układu równań są liczby: \(a=0\), \(b=12\).
Wielomian przyjmuje postać: \(W(x)=2x^{3}-14x+12\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
