Ciąg arytmetyczny
Zadanie 5, maj 2007, poziom podstawowy
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), gdzie \(n\geqslant1\). Wiadomo, że dla każdego \(n\geqslant1\) suma \(n\) początkowych wyrazów
\[S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n\]
wyraża się wzorem
\[S_n=-n^2+13n.\]
a) Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_n)\).
b) Oblicz \(a_{2007}\).
c) Wyznacz liczbę \(n\), dla której \(a_n=0\).
Odpowiedź
a) \(a_n=14-2n\).
b) \(a_{2007}=-4000\).
c) \(a_n=0\) dla \(n=7\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Wyraz ciągu odtwarzamy z sum częściowych: \(a_n=S_n-S_{n-1}\) dla \(n\geq2\).
\[a_n=\left(-n^{2}+13n\right)-\left(-(n-1)^{2}+13(n-1)\right)=-2n+14.\]
Dla \(n=1\) mamy \(a_1=S_1=-1+13=12\), a wzór \(-2n+14\) też daje \(12\), więc obowiązuje dla każdego \(n\geq1\).
**b)** \(a_{2007}=-2\cdot2007+14=-4014+14=-4000.\)
**c)** Z równania \(-2n+14=0\) otrzymujemy \(n=7\).
**Odpowiedź.** \(a_n=14-2n\); \(a_{2007}=-4000\); \(a_n=0\) dla \(n=7\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**Zadanie 5.** (\(5\) pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), gdzie \(n\ge 1\). Wiadomo, że dla każdego \(n\ge 1\) suma \(n\) początkowych wyrazów \(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\) wyraża się wzorem: \(S_{n}=-n^{2}+13n\).
a) Wyznacz wzór na \(n\)–ty wyraz ciągu \((a_{n})\).
b) Oblicz \(a_{2007}\).
c) Wyznacz liczbę \(n\), dla której \(a_{n}=0\).
a) Do wyznaczenia wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_{n})\) stosuję własność sum częściowych: \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\).
\(a_{n}=\left(-n^{2}+13n\right)-\left[-(n-1)^{2}+13(n-1)\right]\), stąd \(a_{n}=-2n+14\).
b) Obliczam \(a_{2007}\): \(a_{2007}=-2\cdot 2007+14=-4000\).
c) Obliczam, który wyraz ciągu przyjmuje wartość zero: \(-2n+14=0\), \(n=7\).
Odpowiedź: \(a_{n}=0\) gdy \(n=7\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
