Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 8, maj 2007, poziom podstawowy
Na stole leżało \(14\) banknotów: \(2\) banknoty o nominale \(100\,\mathrm{zł}\), \(2\) banknoty o nominale \(50\,\mathrm{zł}\) i \(10\) banknotów o nominale \(20\,\mathrm{zł}\). Wiatr zdmuchnął na podłogę \(5\) banknotów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie \(130\,\mathrm{zł}\). Odpowiedź podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
Odpowiedź
\[P(A)=\frac{420}{2002}=\frac{30}{143}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Na podłogę spada pięć banknotów spośród czternastu, a o wyniku decyduje tylko to, które banknoty spadły — kolejność nie ma znaczenia. Zdarzeniami elementarnymi są więc pięcioelementowe podzbiory zbioru czternastu banknotów, jednakowo prawdopodobne, i
\[|\Omega|=\binom{14}5=2002.\]
Szukamy zestawów pięciu banknotów o łącznej wartości \(130\text{ zł}\). Oznaczmy przez \(a\), \(b\), \(c\) liczby banknotów o nominałach \(100\), \(50\) i \(20\) zł. Warunki to
\[a+b+c=5,\qquad 100a+50b+20c=130,\qquad a\leq2,\ b\leq2,\ c\leq10.\]
Dla \(a=1\) zostaje \(50b+20c=30\), co jest niemożliwe. Dla \(a=0\) mamy \(50b+20c=130\) oraz \(b+c=5\); stąd \(50b+20(5-b)=130\), czyli \(30b=30\) i \(b=1\), \(c=4\). Innych rozwiązań nie ma.
Jedyny sprzyjający skład to jeden banknot \(50\text{ zł}\) i cztery banknoty \(20\text{ zł}\). Banknot \(50\text{ zł}\) wybieramy na \(\binom21=2\) sposoby, a cztery dwudziestki spośród dziesięciu na \(\binom{10}4=210\) sposobów, więc
\[|A|=2\cdot210=420.\]
Zatem
\[P(A)=\frac{420}{2002}=\frac{30}{143}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac{30}{143}\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
\(\Omega\) jest zbiorem wszystkich pięcioelementowych podzbiorów czternastoelementowego zbioru banknotów.
Zbiór \(\Omega\) ma moc: \(\binom{14}{5}=2002\).
Zdarzenie \(A\) – na podłogę spadło \(5\) banknotów, które dają kwotę \(130\) zł.
Jest tylko jeden układ nominałów opisanych w zdarzeniu \(A\): \(1\cdot 50+4\cdot 20=130\) zł.
Obliczam liczbę zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia \(A\): \(\lvert A\rvert=\binom{2}{1}\cdot\binom{10}{4}=420\).
Obliczam prawdopodobieństwo \(P(A)\) szukanego zdarzenia: \(P(A)=\frac{420}{2002}\) i otrzymany ułamek skracam do postaci ułamka nieskracalnego: \(P(A)=\frac{30}{143}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
