Potęgi i pierwiastki
Zadanie 10, maj 2006, poziom podstawowy
Liczby \(3\) i \(-1\) są pierwiastkami wielomianu
\[W(x)=2x^3+ax^2+bx+30.\]
a) Wyznacz wartości współczynników \(a\) i \(b\).
b) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Odpowiedź
a) \(a=-14\), \(b=14\). b) Trzeci pierwiastek: \(x=5\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zdanie liczba \(c\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W\) znaczy dokładnie tyle, że \(W(c)=0\). Mamy dwa pierwiastki, więc dostaniemy dwa równania z niewiadomymi \(a\) i \(b\), czyli układ równań. To jest cała idea podpunktu a).
**Krok \(2\).** Obliczamy \(W(3)\) i przyrównujemy do zera:
\[W(3)=2\cdot3^3+a\cdot3^2+b\cdot3+30=54+9a+3b+30=9a+3b+84.\]
Zatem \(9a+3b+84=0\), a po podzieleniu przez \(3\):
\[3a+b+28=0.\]
**Krok \(3\).** Obliczamy \(W(-1)\) i przyrównujemy do zera:
\[W(-1)=2\cdot(-1)^3+a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+30=-2+a-b+30=a-b+28.\]
Zatem
\[a-b+28=0.\]
**Krok \(4\).** Rozwiązujemy układ
\[\begin{cases}3a+b+28=0,\\a-b+28=0.\end{cases}\]
Dodajemy równania stronami — niewiadoma \(b\) się redukuje:
\[4a+56=0,\qquad a=-14.\]
Z drugiego równania \(b=a+28=-14+28=14\).
**Krok \(5\).** Sprawdzenie: dla \(a=-14\), \(b=14\) pierwsze równanie daje \(3\cdot(-14)+14+28=-42+42=0\) — zgadza się. Wielomian ma więc postać
\[W(x)=2x^3-14x^2+14x+30.\]
**Krok \(6\).** Przechodzimy do podpunktu b). Skoro \(3\) i \(-1\) są pierwiastkami, to \(W(x)\) dzieli się bez reszty przez \((x-3)\) i przez \((x+1)\), a więc także przez ich iloczyn:
\[(x-3)(x+1)=x^2-2x-3.\]
**Krok \(7\).** Wykonujemy dzielenie \(\left(2x^3-14x^2+14x+30\right):\left(x^2-2x-3\right)\). Pierwszy wyraz ilorazu to \(2x^3:x^2=2x\); mnożymy \(2x\cdot\left(x^2-2x-3\right)=2x^3-4x^2-6x\) i odejmujemy:
\[\left(2x^3-14x^2+14x+30\right)-\left(2x^3-4x^2-6x\right)=-10x^2+20x+30.\]
Kolejny wyraz ilorazu to \(-10x^2:x^2=-10\); mnożymy \(-10\cdot\left(x^2-2x-3\right)=-10x^2+20x+30\) i odejmujemy — reszta wynosi \(0\). Zatem
\[W(x)=\left(x^2-2x-3\right)(2x-10).\]
**Krok \(8\).** Trzeci pierwiastek pochodzi z czynnika \(2x-10\):
\[2x-10=0,\qquad x=5.\]
Sprawdzenie: \(W(5)=2\cdot125-14\cdot25+14\cdot5+30=250-350+70+30=0\) — zgadza się.
**Uwaga.** Współczynniki \(a\) i \(b\) trzeba wyznaczyć z układu, a nie zgadywać z ostatniego wyrazu. Zwróć też uwagę na znaki przy podstawianiu \(x=-1\): \((-1)^3=-1\), ale \((-1)^2=1\), więc \(a\) wchodzi z plusem, a \(b\) z minusem. Wielomian stopnia trzeciego ma co najwyżej trzy pierwiastki — dwa znamy, więc trzeci jest już jedyny.
**Odpowiedź.** a) \(a=-14\), \(b=14\). b) Trzeci pierwiastek: \(x=5\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**Zadanie 10.** (\(6\) pkt)
Liczby \(3\) i \(-1\) są pierwiastkami wielomianu \(W(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+30\).
a) Wyznacz wartości współczynników \(a\) i \(b\).
b) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Do rozwiązania zadania wykorzystuję twierdzenie Bézouta.
\(W(3)=0\Leftrightarrow 9a+3b+84=0\), \(W(-1)=0\Leftrightarrow a-b+28=0\).
Rozwiązuję układ równań: \(\begin{cases}9a+3b+84=0\\ a-b+28=0\end{cases}\)
\(a=-14\), \(b=14\).
Podstawiam obliczone wartości współczynników \(a\), \(b\) i zapisuję wielomian \(W(x)=2x^{3}-14x^{2}+14x+30\).
Wielomian \(W(x)\) dzielę przez \((x-3)(x+1)=x^{2}-2x-3\): \(\left(2x^{3}-14x^{2}+14x+30\right):\left(x^{2}-2x-3\right)=2x-10\).
Obliczam trzeci pierwiastek: \(2x-10=0\), \(x=5\).
| Nr czynności | 10.1. | 10.2. | 10.3. | 10.4. | 10.5. | 10.6. |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
