Inne zagadnienia
Zadanie 11, maj 2006, poziom podstawowy
Sumę
\[S=\frac3{1\cdot4}+\frac3{4\cdot7}+\frac3{7\cdot10}+\ldots+\frac3{301\cdot304}+\frac3{304\cdot307}\]
można obliczyć w następujący sposób.
a) Sumę \(S\) zapisujemy w postaci
\[S=\frac{4-1}{4\cdot1}+\frac{7-4}{7\cdot4}+\frac{10-7}{10\cdot7}+\ldots+\frac{304-301}{304\cdot301}+\frac{307-304}{307\cdot304}.\]
b) Każdy składnik tej sumy przedstawiamy jako różnicę ułamków:
\[\begin{aligned}S={}&\left(\frac4{4\cdot1}-\frac1{4\cdot1}\right)+\left(\frac7{7\cdot4}-\frac4{7\cdot4}\right)+\left(\frac{10}{10\cdot7}-\frac7{10\cdot7}\right)+\ldots\\&+\left(\frac{304}{304\cdot301}-\frac{301}{304\cdot301}\right)+\left(\frac{307}{307\cdot304}-\frac{304}{307\cdot304}\right),\end{aligned}\]
stąd
\[S=\left(1-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac17\right)+\left(\frac17-\frac1{10}\right)+\ldots+\left(\frac1{301}-\frac1{304}\right)+\left(\frac1{304}-\frac1{307}\right).\]
Zatem
\[S=1-\frac14+\frac14-\frac17+\frac17-\frac1{10}+\ldots+\frac1{301}-\frac1{304}+\frac1{304}-\frac1{307}.\]
c) Obliczamy sumę, redukując parami wyrazy sąsiednie, poza pierwszym i ostatnim:
\[S=1-\frac1{307}=\frac{306}{307}.\]
Postępując w analogiczny sposób, oblicz sumę
\[S_1=\frac4{1\cdot5}+\frac4{5\cdot9}+\frac4{9\cdot13}+\ldots+\frac4{281\cdot285}.\]
Odpowiedź
\[S=\frac{306}{307}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Zadanie podaje w treści gotowy schemat rachunku; poniżej odtwarzamy go z uzasadnieniem każdego przejścia.
**a) Zamiana liczników.** Mianowniki kolejnych składników są iloczynami wyrazów ciągu arytmetycznego \(1,4,7,10,\ldots,307\) o różnicy \(3\). Ponieważ różnica ta wynosi dokładnie \(3\), a licznik każdego składnika jest równy \(3\), można zapisać
\[3=4-1=7-4=10-7=\ldots=307-304.\]
Dzięki temu każdy składnik przyjmuje postać \(\frac{q-p}{q\cdot p}\), gdzie \(p\) i \(q\) są sąsiednimi wyrazami tego ciągu.
**b) Rozbicie na różnicę ułamków.** Dla dowolnych \(p,q\ne0\)
\[\frac{q-p}{q\cdot p}=\frac{q}{q\cdot p}-\frac{p}{q\cdot p}=\frac1p-\frac1q.\]
Stosując to do każdego składnika, otrzymujemy
\[S=\left(1-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac17\right)+\left(\frac17-\frac1{10}\right)+\ldots+\left(\frac1{304}-\frac1{307}\right).\]
**c) Redukcja.** Każdy ułamek poza pierwszym i ostatnim występuje dwa razy: raz ze znakiem minus i raz ze znakiem plus, więc pary te się znoszą. Zostaje
\[S=1-\frac1{307}=\frac{307-1}{307}=\frac{306}{307}.\]
**Odpowiedź.** \(S=\frac{306}{307}\)
Klucz i zasady oceniania
**Schemat CKE (\(3\) pkt łącznie):**
**1 pkt** – zapisanie licznika każdego składnika jako różnicy sąsiednich wyrazów ciągu mianowników
**1 pkt** – rozbicie składników na różnice ułamków postaci \(\frac1p-\frac1q\)
**1 pkt** – wykonanie redukcji i obliczenie sumy: \(S=\frac{306}{307}\)
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie podanego w treści schematu rachunkowego (sumy teleskopowej) oraz wykonywanie działań na ułamkach zwykłych.
