Okręgi i koła
Zadanie 7, maj 2006, poziom podstawowy
Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z trzech rur, każda o średnicy zewnętrznej \(1\,\mathrm{m}\). Dwie styczne do siebie rury leżą przy dolnej krawędzi kanału, a trzecia rura jest styczna do obu dolnych rur i do górnej krawędzi kanału. Oblicz wysokość i szerokość kanału ciepłowniczego. Wysokość zaokrąglij do \(0{,}01\,\mathrm{m}\).
Odpowiedź
Szerokość kanału jest równa \(2\ \mathrm{m}\), a wysokość \(1+\frac{\sqrt3}{2}\approx1{,}87\ \mathrm{m}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Każda rura ma średnicę \(1\ \mathrm{m}\), czyli promień \(0{,}5\ \mathrm{m}\). Z rysunku odczytujemy, że dwie dolne rury są styczne do dna, do bocznych ścian i do siebie, a górna rura jest styczna do obu dolnych i do sufitu.
**Szerokość.** Dwie dolne rury leżą obok siebie, każda dotykając jednej ze ścian, więc
\[s=1+1=2\ \mathrm{m}.\]
**Wysokość.** Środki dolnych rur są odległe od dna o \(0{,}5\) i odległe od siebie o \(1\) (suma promieni rur stycznych). Środek górnej rury jest odległy od każdego z nich również o \(1\), a z symetrii leży dokładnie nad środkiem odcinka łączącego dolne środki. Z twierdzenia Pitagorasa jego wzniesienie ponad dolne środki wynosi
\[\sqrt{1^2-\left(\tfrac12\right)^2}=\frac{\sqrt3}{2}.\]
Do wysokości kanału dodajemy jeszcze promień dolnej rury (do dna) i promień górnej rury (do sufitu):
\[h=0{,}5+\frac{\sqrt3}{2}+0{,}5=1+\frac{\sqrt3}{2}\approx1{,}866\approx1{,}87\ \mathrm{m}.\]
**Odpowiedź.** Szerokość kanału wynosi \(2\ \mathrm{m}\), a wysokość około \(1{,}87\ \mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**Zadanie 7.** (\(5\) pkt)
Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z trzech rur, każda o średnicy zewnętrznej \(1\,\mathrm{m}\). Oblicz wysokość i szerokość kanału ciepłowniczego. Wysokość zaokrąglij do \(0{,}01\,\mathrm{m}\).
Środki okręgów na przedstawionym w zadaniu szkicu są wierzchołkami trójkąta równobocznego o boku długości \(a=1\).
Obliczam wysokość tego trójkąta: \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Obliczam wysokość kanału ciepłowniczego: \(d=2r+h\), \(d=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Odp.: Wysokość kanału z zadanym zaokrągleniem jest równa \(d\approx 1{,}87\,\mathrm{m}\) a jego szerokość \(s=2\,\mathrm{m}\).
| Nr czynności | 7.1. | 7.2. | 7.3. | 7.4. |
|---|---:|---:|---:|---:|
| Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(2\) | \(1\) |
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
