Nierówności
Zadanie 5, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a zachodzi \(a^{2}+\frac{16}{a} \geq 12\).
Odpowiedź
Po pomnożeniu przez \(a\gt 0\) nierówność jest równoważna \(a^{3}-12a+16\geq 0\), czyli \((a-2)^{2}(a+4)\geq 0\). Oba czynniki są nieujemne dla \(a\gt 0\), a równość zachodzi tylko dla \(a=2\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: przekształcamy nierówność równoważnie, mnożąc przez dodatnią liczbę \(a\), i rozkładamy powstały wielomian na czynniki o oczywistym znaku.
**Krok \(2\).** Z założenia \(a\gt 0\), więc mnożenie obu stron przez \(a\) nie zmienia kierunku nierówności:
\[a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\quad\Longleftrightarrow\quad a^{3}+16\geq 12a\quad\Longleftrightarrow\quad a^{3}-12a+16\geq 0.\]
**Krok \(3\).** Rozważmy wielomian \(W(a)=a^{3}-12a+16\). Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego: \(W(2)=8-24+16=0\), więc \(a-2\) jest dzielnikiem \(W\).
**Krok \(4\).** Dzielimy: \(W(a)=(a-2)\left(a^{2}+2a-8\right)\). Trójmian \(a^{2}+2a-8\) ma pierwiastki \(2\) i \(-4\), więc
\[W(a)=(a-2)(a-2)(a+4)=(a-2)^{2}(a+4).\]
**Krok \(5\).** Dla każdego \(a\gt 0\) mamy \((a-2)^{2}\geq 0\) oraz \(a+4\gt 0\), więc iloczyn \((a-2)^{2}(a+4)\) jest nieujemny. Zatem \(a^{3}-12a+16\geq 0\).
**Krok \(6\).** Dzieląc tę nierówność stronami przez \(a\gt 0\), wracamy do postaci wyjściowej \(a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\). To należało wykazać.
**Uwaga.** Kluczowe jest założenie \(a\gt 0\): tylko dzięki niemu mnożenie i dzielenie przez \(a\) zachowuje kierunek nierówności. Dla \(a\lt 0\) lewa strona jest ujemna albo mniejsza od \(12\), więc teza po prostu nie zachodzi. Zauważmy też, że równość ma miejsce dokładnie dla \(a=2\), bo tylko wtedy \((a-2)^{2}=0\).
**Odpowiedź.** Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\) zachodzi \(a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\), przy czym równość zachodzi tylko dla \(a=2\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i uzasadnienie prawdziwości nierówności \(\frac{(a-2)^{2}(a+4)}{a}\ge 0\) lub \((a-2)^{2}(a+4)\ge 0\), lub \(a(a-2)^{2}(a+4)\ge 0\) z powołaniem się na założenie (dla sposobu I)
ALBO
– spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i przekształcenie nierówności \(\frac{a^{2}+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{a^{2}\cdot\frac{8}{a}\cdot\frac{8}{a}}\) do postaci tezy (dla sposobu II),
ALBO
– spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty oraz obliczenie \(f(2)\): \(f(2)=12\) (dla sposobu III).
**2 pkt** – przekształcenie nierówności \(a^{2}+\frac{16}{a}\ge 12\) do postaci \(\frac{(a-2)^{2}(a+4)}{a}\ge 0\) lub \((a-2)^{2}(a+4)\ge 0\), lub \(a(a-2)^{2}(a+4)\ge 0\) (dla sposobu I)
ALBO
– spełnienie kryterium oceniania za 1 punkt oraz zapisanie wielomianu \(a^{3}-12a+16\) w postaci \((a-2)^{2}(a+4)\) (dla sposobu I),
ALBO
– zapisanie, że dla każdego \(a>0\) liczby \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) są dodatnie oraz zapisanie nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb dodatnich \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\): \(\frac{a^{2}+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{a^{2}\cdot\frac{8}{a}\cdot\frac{8}{a}}\) (dla sposobu II),
ALBO
– obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(f\) oraz wyznaczenie w przedziale \((0,\,+\infty)\) argumentu, dla którego funkcja osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą (wraz z uzasadnieniem): \(a=2\) (dla sposobu III).
**1 pkt** – przekształcenie nierówności \(a^{2}+\frac{16}{a}\ge 12\) do postaci \(\frac{a^{3}-12a+16}{a}\ge 0\) lub \(a^{3}-12a+16\ge 0\), lub \(a(a^{3}-12a+16)\ge 0\) (dla sposobu I)
ALBO
– zapisanie, że dla każdego \(a>0\) liczby \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) są dodatnie (dla sposobu II),
ALBO
– obliczenie pochodnej funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(a)=a^{2}+\frac{16}{a}\) dla \(a>0\) (lub w szerszym zakresie), np. \(f'(a)=2a-\frac{16}{a^{2}}\) (dla sposobu III).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania.
**Uwaga:** Jeśli zdający opiera swoje rozwiązanie na nierówności między średnimi (sposób III) i stosuje nierówność między średnimi liczb \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) bez zapisania, że liczby te są dodatnie, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024**
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
II.R1) Zdający znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych.
III.R1) Zdający rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: \(W(x)>0\), \(W(x)\ge 0\), \(W(x)<0\), \(W(x)\le 0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania.
