Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 3, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe \(0{,}1\).
**Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że w okresie siedmiu dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[P(A)\approx0{,}97.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Traktujemy wystąpienie awarii danego dnia jako sukces w schemacie Bernoullego. Mamy
\[n=7,\qquad p=\frac1{10},\qquad q=\frac9{10}.\]
Zdarzenie \(A\) oznacza wystąpienie awarii w co najwyżej dwóch dniach, więc
\[P(A)=P(S_0)+P(S_1)+P(S_2).\]
Zatem
\[P(A)=\binom70\left(\frac1{10}\right)^0\left(\frac9{10}\right)^7+\binom71\left(\frac1{10}\right)^1\left(\frac9{10}\right)^6+\binom72\left(\frac1{10}\right)^2\left(\frac9{10}\right)^5.\]
Po obliczeniu:
\[P(A)=0{,}9743085\approx0{,}97.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik po zaokrągleniu: \(0{,}97\)
**2 pkt** – poprawne zastosowanie schematu Bernoullego i zapisanie sumy prawdopodobieństw dla \(k=0,1,2\)
**1 pkt** – ustalenie \(n=7\), \(k\leq2\), \(p=\frac1{10}\), \(q=\frac9{10}\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.R2) Zdający stosuje schemat Bernoullego.
