Równania i nierówności
Zadanie 7, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
Dany jest nieskończony szereg geometryczny
\[2x-\frac{6x}{x-1}+\frac{18x}{(x-1)^2}-\frac{54x}{(x-1)^3}+\ldots\]
**Wyznacz wszystkie wartości zmiennej \(x\) (różnej od \(0\) i od \(1\)), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa \(\frac{15}{2}\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[x=6.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Pierwszy wyraz szeregu i jego iloraz są równe
\[a_1=2x,\qquad q=-\frac3{x-1}.\]
Suma szeregu istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy \(|q|<1\):
\[\left|-\frac3{x-1}\right|<1,\]
\[|x-1|>3.\]
Zatem
\[x\in(-\infty,-2)\cup(4,+\infty).\]
Dla takich \(x\) suma wynosi
\[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2x}{1+\frac3{x-1}}=\frac{2x(x-1)}{x+2}.\]
Rozwiązujemy równanie
\[\frac{2x(x-1)}{x+2}=\frac{15}{2}:\]
\[4x(x-1)=15(x+2),\]
\[4x^2-19x-30=0.\]
Stąd
\[x=-\frac54\quad\text{lub}\quad x=6.\]
Pierwsza wartość nie należy do zbioru zbieżności, natomiast \(6\in(4,+\infty)\). Ostatecznie
\[x=6.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie zbioru zbieżności \((-\infty,-2)\cup(4,+\infty)\) oraz wartości \(x=6\)
**3 pkt** – wyznaczenie zbioru zbieżności, zastosowanie wzoru na sumę i zapisanie poprawnego równania; albo zapisanie warunku \(|q|<1\), rozwiązanie równania sumy i otrzymanie kandydatów \(-\frac54\), \(6\)
**2 pkt** – wyznaczenie zbioru zbieżności; albo zapisanie warunku zbieżności, wzoru na sumę i poprawnego równania
**1 pkt** – zapisanie \(q=-\frac3{x-1}\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.
