Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 9, czerwiec 2014, poziom rozszerzony
Reszta z dzielenia wielomianu
\[W(x)=6x^3+(m+4)x^2-2x-1\]
przez dwumian \(x-m\) jest równa \(8\). Oblicz wartość \(m\) oraz pierwiastki tego wielomianu.
Odpowiedź
\[m=1,\qquad x\in\left\{-1,-\frac13,\frac12\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia o reszcie \(W(m)=8\). Otrzymujemy
\[6m^3+(m+4)m^2-2m-1=8,\]
czyli
\[7m^3+4m^2-2m-9=0.\]
Ponieważ \(m=1\) jest pierwiastkiem, rozkładamy wielomian:
\[7m^3+4m^2-2m-9=(m-1)(7m^2+11m+9).\]
Wyróżnik trójmianu \(7m^2+11m+9\) jest równy \(-131\), więc nie ma on pierwiastków rzeczywistych. Zatem \(m=1\). Wtedy
\[W(x)=6x^3+5x^2-2x-1.\]
Liczba \(-1\) jest pierwiastkiem, a dalszy rozkład daje
\[W(x)=(x+1)(6x^2-x-1)=(x+1)(2x-1)(3x+1).\]
Pierwiastkami są więc \(-1\), \(-\frac13\) i \(\frac12\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m=1\) i wszystkich trzech pierwiastków wielomianu
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m=1\), wskazanie jednego pierwiastka \(W\) i podzielenie przez odpowiadający mu dwumian
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie równania dla parametru: \(m=1\)
**2 pkt** – uporządkowanie równania \(7m^3+4m^2-2m-9=0\) i wykazanie, że \(m=1\) jest jego pierwiastkiem
**1 pkt** – poprawne zastosowanie twierdzenia o reszcie i zapisanie równania \(W(m)=8\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię wynikającą z treści zadania.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający stosuje twierdzenie o reszcie i twierdzenie Bézouta oraz rozkłada wielomian na czynniki w celu wyznaczenia pierwiastków.
