Zadanie 8 – matura z matematyki czerwiec 2014, poziom rozszerzony

Są dwie uporządkowane trójki liczb: \[(-3,6,-12)\qquad\text{oraz}\qquad\left(-\frac79,\frac{14}{9},-\frac{28}{9}\right).\]

Niech \(a,b,c\) będą kolejno szukanymi liczbami. Z warunków zadania otrzymujemy \[b^2=ac,\qquad 2a=b+c,\qquad a^2=(b-7)(c+3).\] Z równania \(2a=b+c\) mamy \(b=2a-c\). Po podstawieniu do \(b^2=ac\): \[(2a-c)^2=ac,\] czyli \[(4a-c)(a-c)=0.\] Przypadek \(c=a\) prowadzi do ilorazu ciągu równego \(1\), więc go odrzucamy. Zatem \(c=4a\), a następnie \(b=-2a\). Trzeci warunek daje \[a^2=(-2a-7)(4a+3),\] a po uporządkowaniu \[9a^2+34a+21=0.\] Pierwiastki tego równania to \(a=-3\) oraz \(a=-\frac79\). Dla \(a=-3\) otrzymujemy \((a,b,c)=(-3,6,-12)\), a dla \(a=-\frac79\): \[(a,b,c)=\left(-\frac79,\frac{14}{9},-\frac{28}{9}\right).\]

**6 pkt** – wyznaczenie obu trójek i odrzucenie przypadku ciągu stałego **5 pkt** – doprowadzenie do równania \(9a^2+34a+21=0\) albo pełne rozwiązanie z drobną usterką **4 pkt** – uzyskanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą, nawet w postaci nieuporządkowanej **3 pkt** – wyznaczenie zależności \(c=4a\) i \(b=-2a\), bez dokończenia obliczeń **2 pkt** – poprawny układ trzech równań wynikających z własności ciągów **1 pkt** – zapisanie co najmniej jednego z trzech kluczowych równań **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię wynikającą z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** Zdający wykorzystuje własności ciągów arytmetycznych i geometrycznych oraz rozwiązuje wynikający układ równań.