Czworokąty
Zadanie 10, czerwiec 2014, poziom rozszerzony
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(25\). Ściany boczne \(ABS\) i \(BCS\) mają takie same pola, każde równe \(250\). Ściany boczne \(ADS\) i \(CDS\) też mają jednakowe pola, każde równe \(187{,}5\). Krawędzie boczne \(AS\) i \(CS\) mają równe długości. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=2500.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wysokości ścian bocznych opuszczone z wierzchołka \(S\) mają długości \(h_1\) i \(h_2\), gdzie
\[\frac12\cdot25\cdot h_1=250,\qquad \frac12\cdot25\cdot h_2=187{,}5.\]
Stąd \(h_1=20\) i \(h_2=15\). Ponieważ \(|AS|=|CS|\), spodek \(O\) wysokości ostrosłupa leży na przekątnej \(BD\). Niech \(h=|SO|\), a \(x\) oznacza odpowiednią odległość rzutu \(O\) od boku podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
\[\begin{cases}x^2+h^2=15^2,\\(25-x)^2+h^2=20^2.\end{cases}\]
Po odjęciu równań dostajemy \(x=9\), a następnie
\[h=\sqrt{15^2-9^2}=12.\]
Objętość ostrosłupa jest zatem równa
\[V=\frac13\cdot25^2\cdot12=2500.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna objętość \(2500\)
**4 pkt** – poprawne obliczenie wysokości \(h=12\) i zastosowanie wzoru na objętość z drobną usterką rachunkową
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie wysokości ostrosłupa \(h=12\)
**2 pkt** – poprawny układ równań pozwalający wyznaczyć wysokość ostrosłupa
**1 pkt** – obliczenie \(h_1=20\) lub \(h_2=15\), albo poprawne ustalenie położenia spodka wysokości na przekątnej \(BD\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię wynikającą z treści zadania.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający oblicza pola ścian, wysokość i objętość ostrosłupa, wykorzystując twierdzenie Pitagorasa.
