Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 2, czerwiec 2012, poziom rozszerzony
Wielomian
\[W(x)=x^4+ax^3+bx^2-24x+9\]
jest kwadratem wielomianu
\[P(x)=x^2+cx+d.\]
Oblicz \(a\) oraz \(b\).
Odpowiedź
\[(a,b)=(-8,22)\qquad\text{albo}\qquad(a,b)=(8,10).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy kwadrat trójmianu:
\[\left(x^{2}+cx+d\right)^{2}=x^{4}+2cx^{3}+\left(c^{2}+2d\right)x^{2}+2cd\,x+d^{2}.\]
Porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach z wielomianem \(W\):
\[2c=a,\qquad c^{2}+2d=b,\qquad 2cd=-24,\qquad d^{2}=9.\]
Z ostatniego równania \(d=3\) lub \(d=-3\).
Dla \(d=3\): z \(2c\cdot3=-24\) mamy \(c=-4\), więc \(a=2c=-8\) oraz \(b=c^{2}+2d=16+6=22\).
Dla \(d=-3\): z \(2c\cdot(-3)=-24\) mamy \(c=4\), więc \(a=8\) oraz \(b=16-6=10\).
Oba przypadki spełniają wszystkie równania, więc oba są rozwiązaniami.
**Odpowiedź.** \((a,b)=(-8,22)\) albo \((a,b)=(8,10)\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie twierdzenia o równości wielomianów (IV.2.a.R).
