Zadanie 1 – matura z matematyki czerwiec 2012, poziom rozszerzony

x≤\(2\). Punkty −\(1\) i \(2\) dzielą oś na przedziały, w których usuwamy wartości bezwzględne. Po rozwiązaniu powstałych nierówności i przecięciu wyników z odpowiednimi przedziałami otrzymujemy (−∞,\(2\)].

**Krok \(1\).** Po lewej stronie są dwie wartości bezwzględne, po prawej zwykłe wyrażenie liniowe. Metoda jest standardowa: dzielimy oś liczbową punktami zerowania się wyrażeń spod modułów i w każdym z powstałych przedziałów rozwiązujemy nierówność bez modułów, a wynik przecinamy z tym przedziałem. **Krok \(2\).** Wyrażenie \(x-2\) zeruje się dla \(x=2\), a \(x+1\) dla \(x=-1\). Rozpatrujemy więc przedziały \((-\infty,-1)\), \(\langle-1,2)\) oraz \(\langle2,+\infty)\). **Krok \(3\).** Przypadek \(x\lt-1\). Oba wyrażenia są ujemne, więc \(|x-2|=2-x\) i \(|x+1|=-x-1\): \[(2-x)+(-x-1)\geqslant3x-3,\qquad 1-2x\geqslant3x-3,\qquad 4\geqslant5x,\qquad x\leqslant\tfrac45.\] Warunek \(x\leqslant\frac45\) jest spełniony przez każdą liczbę z przedziału \((-\infty,-1)\), więc cały ten przedział należy do rozwiązania. **Krok \(4\).** Przypadek \(-1\leqslant x\lt2\). Teraz \(|x-2|=2-x\), ale \(|x+1|=x+1\): \[(2-x)+(x+1)\geqslant3x-3,\qquad 3\geqslant3x-3,\qquad 6\geqslant3x,\qquad x\leqslant2.\] Cały przedział \(\langle-1,2)\) spełnia ten warunek. **Krok \(5\).** Przypadek \(x\geqslant2\). Oba wyrażenia są nieujemne: \[(x-2)+(x+1)\geqslant3x-3,\qquad 2x-1\geqslant3x-3,\qquad 2\geqslant x.\] Część wspólna warunku \(x\leqslant2\) z przedziałem \(\langle2,+\infty)\) to jeden punkt \(x=2\). **Krok \(6\).** Sumujemy wyniki trzech przypadków: \[(-\infty,-1)\cup\langle-1,2)\cup\{2\}=(-\infty,2\rangle.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie. Dla \(x=2\): lewa strona \(0+3=3\), prawa \(6-3=3\), więc \(3\geqslant3\) — spełnia. Dla \(x=3\): lewa \(1+4=5\), prawa \(9-3=6\), więc \(5\geqslant6\) jest fałszem — poza zbiorem, zgodnie z wynikiem. **Uwaga.** Kuszące jest podniesienie obu stron do kwadratu, ale prawa strona \(3x-3\) bywa ujemna, więc taka operacja nie jest równoważna. Metoda przedziałowa jest tu jedyną bezpieczną drogą. Pamiętaj też, by w każdym przypadku wziąć część wspólną z rozpatrywanym przedziałem. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,2\rangle\), czyli \(x\leqslant2\).

*Schemat oceniania I (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów)* **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały \([\ldots]\), \((-1,2)\), \((2,\infty)\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np. \(-x+2-x-1\ge 3x-3\). **Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania** – zdający poprawnie rozwiąże wszystkie trzy nierówności i poprawnie wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, a w trzecim przypadku popełni błąd i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca; albo poprawnie rozwiąże nierówności tylko w dwóch przedziałach i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca. **4 pkt** – zdający zapisze odpowiedź: \(x\le 2\). *Schemat oceniania II (zapisanie czterech przypadków)* **1 pkt** – zdający zapisze cztery przypadki: \(\begin{cases}x-2\ge 0\\ x+1\ge 0\end{cases}\), \(\begin{cases}x-2\ge 0\\ x+1<0\end{cases}\), \(\begin{cases}x-2<0\\ x+1\ge 0\end{cases}\), \(\begin{cases}x-2<0\\ x+1<0\end{cases}\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający zapisze cztery układy nierówności: \(x-2+x+1\ge 3x-3\), \(x-2-x-1\ge 3x-3\), \(-x+2+x+1\ge 3x-3\), \(-x+2-x-1\ge 3x-3\). **Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania** – zdający poprawnie rozwiąże co najmniej trzy układy nierówności. **4 pkt** – zdający zapisze odpowiedź: \(x\le 2\). *Schemat oceniania III (graficznie)* **1 pkt** – zdający wyróżni przedziały: \((-1,2)\), \((2,\infty)\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zdający poprawnie zapisze wzór funkcji \(f\) w poszczególnych przedziałach, np. \(f(x)=-2x+1\) dla \(x<-1\), \(f(x)=3\) dla \(x\in(-1,2)\), \(f(x)=2x-1\) dla \(x\in(2,\infty)\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający narysuje wykres funkcji \(f\) i prostą o równaniu \(y=3x-3\). **4 pkt** – zdający zapisze przedział: \(x\le 2\). *Schemat oceniania IV* **1 pkt** – zdający wyróżni przedziały: \((-1,2)\), \((2,\infty)\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zdający zapisze wzór funkcji \(f\) w poszczególnych przedziałach, np. \(f(x)=-5x+4\) dla \(x<-1\), \(f(x)=-3x+6\) dla \(x\in(-1,2)\), \(f(x)=[\ldots]\) dla \(x\ge 2\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający narysuje wykres funkcji \(f\). **4 pkt** – zdający zapisze przedział: \(x\le 2\). Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów. Jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(2\) punkty. We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre. Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre, to otrzymuje za całe zadanie o \(1\) punkt mniej, niż gdyby zapisał wszystkie nierówności poprawnie.

III. Modelowanie matematyczne. Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną (III.3.e.R).