Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 3, czerwiec 2012, poziom rozszerzony
Kąt \(\alpha\) jest taki, że
\[\cos\alpha+\sin\alpha=\frac{4}{3}.\]
Oblicz wartość wyrażenia
\[|\cos\alpha-\sin\alpha|.\]
Odpowiedź
\[\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert=\frac{\sqrt2}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Podnosimy dany warunek do kwadratu i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
\[\left(\cos\alpha+\sin\alpha\right)^{2}=1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{16}{9},\]
skąd
\[2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{16}{9}-1=\frac79.\]
Następnie
\[\left(\cos\alpha-\sin\alpha\right)^{2}=1-2\sin\alpha\cos\alpha=1-\frac79=\frac29.\]
Wartość bezwzględna jest nieujemna, więc bierzemy pierwiastek dodatni:
\[\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert=\sqrt{\frac29}=\frac{\sqrt2}{3}.\]
**Odpowiedź.** \(\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert=\dfrac{\sqrt2}{3}\).
Klucz i zasady oceniania
*Schemat oceniania I sposobu rozwiązania*
**1 pkt** – zapisanie równania, w którym występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna kąta \(\alpha\): \(\sin^{2}\alpha+\left(\frac{4}{3}-\sin\alpha\right)^{2}=1\) albo \(\cos^{2}\alpha+\left(\frac{4}{3}-\cos\alpha\right)^{2}=1\).
**2 pkt** – zapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą w postaci uporządkowanej: \(2\sin^{2}\alpha-\frac{8}{3}\sin\alpha+\frac{7}{9}=0\) albo \(2\cos^{2}\alpha-\frac{8}{3}\cos\alpha+\frac{7}{9}=0\).
**3 pkt** – obliczenie wartości \(\sin\alpha\) albo \(\cos\alpha\): \(\sin\alpha=\frac{4-\sqrt{2}}{6}\) lub \(\sin\alpha=\frac{4+\sqrt{2}}{6}\), albo \(\cos\alpha=\frac{4-\sqrt{2}}{6}\) lub \(\cos\alpha=\frac{4+\sqrt{2}}{6}\).
**4 pkt** – rozwiązanie zadania prawie do końca: obliczenie wartości drugiej funkcji trygonometrycznej kąta \(\alpha\) oraz zapisanie wyrażenia \(\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert\) w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej: \(\left\lvert\frac{4}{3}-2\sin\alpha\right\rvert\) albo \(\left\lvert 2\cos\alpha-\frac{4}{3}\right\rvert\).
**5 pkt** – obliczenie wartości wyrażenia: \(\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert=\frac{\sqrt{2}}{3}\).
*Schemat oceniania II sposobu rozwiązania*
**2 pkt** – obliczenie wartości \(2\cos\alpha\sin\alpha=\frac{7}{9}\) albo zapisanie wyrażenia \(\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert\) w postaci \(\sqrt{\left(\cos\alpha-\sin\alpha\right)^{2}}\).
**3 pkt** – obliczenie wartości \(2\cos\alpha\sin\alpha=\frac{7}{9}\) oraz zapisanie wyrażenia \(\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert\) w postaci \(\sqrt{\left(\cos\alpha-\sin\alpha\right)^{2}}\).
**4 pkt** – rozwiązanie zadania prawie do końca: obliczenie wartości \(2\cos\alpha\sin\alpha=\frac{7}{9}\) oraz zapisanie wyrażenia \(\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert\) w postaci \(\sqrt{1-2\cos\alpha\sin\alpha}\).
**5 pkt** – obliczenie wartości wyrażenia: \(\lvert\cos\alpha-\sin\alpha\rvert=\frac{\sqrt{2}}{3}\).
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania trygonometrycznego (IV.6.e.R).
