Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 26, czerwiec 2011, poziom podstawowy
Dane są wielomiany
\[P(x)=-2x^3+3x^2-1,\qquad Q(x)=2x^2-x-1\]
oraz \(W(x)=ax+b\). Wyznacz współczynniki \(a\) i \(b\), tak aby wielomian \(P(x)\) był równy iloczynowi \(W(x)\cdot Q(x)\).
Odpowiedź
\[a=-1,\qquad b=1.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wykonujemy mnożenie \(W(x)\cdot Q(x)\):
\[(ax+b)\left(2x^{2}-x-1\right)=2ax^{3}+(2b-a)x^{2}+(-a-b)x-b.\]
Wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki przy tych samych potęgach. Porównujemy z \(P(x)=-2x^{3}+3x^{2}+0\cdot x-1\):
\[2a=-2,\qquad 2b-a=3,\qquad -a-b=0,\qquad -b=-1.\]
Z pierwszego równania \(a=-1\), z ostatniego \(b=1\). Sprawdzamy pozostałe dwa:
\[2\cdot1-(-1)=3\ \checkmark,\qquad -(-1)-1=0\ \checkmark.\]
**Odpowiedź.** \(a=-1\), \(b=1\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: porównanie wybranych współczynników iloczynu. 2 pkt: a=−1 i b=1.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Wyrażenia algebraiczne – porównuje współczynniki wielomianów i ich iloczynu.
