Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 27, czerwiec 2011, poziom podstawowy
Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(n\) liczba
\[3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\]
jest wielokrotnością liczby \(10\).
Odpowiedź
Liczba jest wielokrotnością \(10\) dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(n\).
Rozwiązanie krok po kroku
Grupujemy wyrazy o tej samej podstawie i wyłączamy wspólne czynniki:
\[3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}=3^{n}\left(3^{2}+1\right)-2^{n}\left(2^{2}+1\right)=10\cdot3^{n}-5\cdot2^{n}.\]
Dla \(n\ge1\) zachodzi \(2^{n}=2\cdot2^{n-1}\), więc
\[5\cdot2^{n}=10\cdot2^{n-1},\]
a zatem
\[3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}=10\left(3^{n}-2^{n-1}\right).\]
Liczba \(3^{n}-2^{n-1}\) jest całkowita, więc rozważana liczba jest wielokrotnością \(10\).
**Odpowiedź.** Liczba \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}\) jest wielokrotnością \(10\) dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(n\), co należało uzasadnić.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy zapisze liczbę \([\ldots]\) w postaci \(3^{n}\cdot 10-2^{n}\cdot 5\).
**2 pkt** – gdy przeprowadzi pełne rozumowanie, np. przekształci liczbę \(3^{n}\cdot 10-2^{n}\cdot 5\) do postaci \(10\left(3^{n}-2^{n-1}\right)\) i zapisze, że \(3^{n}-2^{n-1}\) jest liczbą całkowitą, albo zapisze liczbę w postaci \(3^{n}\cdot 10-2^{n}\cdot 5\) i uzasadni, że jest podzielna przez \(10\).
Uwaga: jeśli zdający zapisuje kolejno \(3^{n}\left(3^{2}+1\right)-2^{n}\left(2^{2}+1\right)\), \(10\cdot 3^{n}-5\cdot 2^{n}\), i uzasadnia, że \(2\cdot 3^{n}-2^{n}\) jest liczbą podzielną przez \(2\), to otrzymuje \(2\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.
