Trójkąty
Zadanie 25, czerwiec 2011, poziom podstawowy
Trójkąt \(ABC\) przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty \(B\), \(C\), \(N\) są współliniowe. Na boku \(AC\) wybrano punkt \(M\) tak, że \(|AM|=|CN|\). Wykaż, że \(|BM|=|MN|\).
Odpowiedź
\[\lvert BM\rvert=\lvert MN\rvert.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że punkt \(N\) leży na przedłużeniu boku \(BC\) poza wierzchołek \(C\), a punkt \(M\) na boku \(AC\).
Poprowadźmy odcinek \(MD\) równoległy do \(AB\), gdzie \(D\) leży na boku \(BC\). Trójkąt \(MDC\) ma kąty równe kątom trójkąta \(ABC\) (kąty odpowiadające przy prostych równoległych), jest więc równoboczny. Stąd
\[\lvert MD\rvert=\lvert MC\rvert=\lvert DC\rvert.\]
Ponieważ \(\lvert AC\rvert=\lvert BC\rvert\) oraz \(\lvert MC\rvert=\lvert DC\rvert\),
\[\lvert BD\rvert=\lvert BC\rvert-\lvert DC\rvert=\lvert AC\rvert-\lvert MC\rvert=\lvert AM\rvert=\lvert CN\rvert.\]
Kąt \(BDM\) jest przyległy do kąta \(MDC=60^\circ\), więc ma \(120^\circ\). Kąt \(MCN\) jest przyległy do kąta \(MCB=\lvert\angle ACB\rvert=60^\circ\) (punkty \(B\), \(C\), \(N\) są współliniowe), więc również ma \(120^\circ\).
Trójkąty \(BDM\) i \(MCN\) mają zatem równe po dwa boki (\(\lvert BD\rvert=\lvert CN\rvert\), \(\lvert DM\rvert=\lvert CM\rvert\)) i równe kąty między nimi, są więc przystające (cecha bok-kąt-bok). Stąd
\[\lvert BM\rvert=\lvert MN\rvert,\]
co należało wykazać.
**Odpowiedź.** \(\lvert BM\rvert=\lvert MN\rvert\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – stwierdzenie, że trójkąty \(BDM\) i \(MCN\) są przystające, i wyprowadzenie stąd wniosku \(\lvert BM\rvert=\lvert MN\rvert\).
**2 pkt** – poprawne uzasadnienie przystawania obu trójkątów wraz z wnioskiem.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 25. (0–2)
**Wymaganie ogólne:** rozumowanie i argumentacja.
**Wymaganie szczegółowe:** korzystanie z własności trójkąta równobocznego i z cech przystawania trójkątów.
