Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 6, arkusz pokazowy 2008, poziom rozszerzony
Dany jest wielomian
\[W(x)=x^3+cx^2+7x+d.\]
a) Wyznacz wartości współczynników \(c\) i \(d\) wielomianu \(W\), gdy jest podzielny przez dwumian \((x+2)\), zaś przy dzieleniu przez dwumian \((x-1)\) otrzymujemy resztę \(3\).
b) Dla \(c=-5\) i \(d=-3\) rozwiąż nierówność \(W(x)\leqslant0\).
Odpowiedź
**a)** \(c=9\), \(d=-14\). **b)** \(W(x)\le0\) dla \(x\in(-\infty,3\rangle\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Z twierdzenia o reszcie podzielność przez \(x+2\) oznacza \(W(-2)=0\), a reszta \(3\) z dzielenia przez \(x-1\) oznacza \(W(1)=3\):
\[W(-2)=-8+4c-14+d=0,\qquad W(1)=1+c+7+d=3.\]
Otrzymujemy układ
\[\begin{cases}4c+d=22,\\ c+d=-5.\end{cases}\]
Odejmując stronami, \(3c=27\), czyli \(c=9\) oraz \(d=-14\).
Sprawdzenie: \(W(x)=x^{3}+9x^{2}+7x-14\), więc \(W(-2)=-8+36-14-14=0\) i \(W(1)=1+9+7-14=3\).
**b)** Dla \(c=-5\) i \(d=-3\) mamy \(W(x)=x^{3}-5x^{2}+7x-3\). Zauważamy, że \(W(1)=1-5+7-3=0\), więc \(x-1\) jest dzielnikiem:
\[W(x)=(x-1)\left(x^{2}-4x+3\right)=(x-1)(x-1)(x-3)=(x-1)^{2}(x-3).\]
Czynnik \((x-1)^{2}\) jest nieujemny i zeruje się tylko dla \(x=1\), więc znak iloczynu wyznacza czynnik \(x-3\):
\[W(x)\le0\iff x-3\le0\ \text{lub}\ x=1\iff x\le3.\]
**Odpowiedź.** a) \(c=9\), \(d=-14\); b) \(x\in(-\infty,3\rangle\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź: D.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
