Geometria analityczna
Zadanie 5, arkusz pokazowy 2008, poziom rozszerzony
Dane są punkty \(A=(-4,32)\) i \(B=(-36,16)\). Wykaż, że koło o średnicy \(AB\) jest zawarte w II ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych.
Odpowiedź
Koło o średnicy \(AB\) ma środek \(S=(-20,24)\) i promień \(r=8\sqrt5\). Ponieważ \(-20+8\sqrt5<0\) oraz \(24-8\sqrt5>0\), całe koło leży w II ćwiartce.
Rozwiązanie krok po kroku
Środek koła jest środkiem odcinka \(AB\):
\[S=\left(\frac{-4+(-36)}2,\frac{32+16}2\right)=(-20,24).\]
Promień jest połową długości średnicy:
\[|AB|=\sqrt{(-36+4)^{2}+(16-32)^{2}}=\sqrt{1024+256}=\sqrt{1280}=16\sqrt5,\qquad r=8\sqrt5.\]
Koło leży w II ćwiartce dokładnie wtedy, gdy każdy jego punkt ma pierwszą współrzędną ujemną, a drugą dodatnią. Wystarczy więc, by odległość środka od każdej z osi była większa od promienia, przy zachowaniu znaków współrzędnych środka.
Odległość \(S\) od osi \(Oy\) wynosi \(20\), odległość od osi \(Ox\) wynosi \(24\). Szacujemy promień:
\[r=8\sqrt5=\sqrt{320}<\sqrt{400}=20<24.\]
Zatem każdy punkt koła ma pierwszą współrzędną nie większą niż \(-20+r<0\) i drugą nie mniejszą niż \(24-r>0\).
**Odpowiedź.** Koło o średnicy \(AB\) jest zawarte w II ćwiartce układu współrzędnych.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wyznaczenie środka koła \(S=(-20,24)\)
**1 pkt** – wyznaczenie promienia \(r=8\sqrt5\)
**2 pkt** – uzasadnienie, że \(r<20\) i \(r<24\), a więc całe koło leży w II ćwiartce
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
