Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 11, arkusz pokazowy 2008, poziom rozszerzony
Ostrokątny trójkąt równoramienny \(ABC\) o podstawie \(AB\) jest wpisany w okrąg o równaniu
\[x^2+y^2=25.\]
Punkty \(A\) i \(B\) leżą na prostej o równaniu \(y=x-5\).
a) Oblicz współrzędne punktów \(A\), \(B\), \(C\).
b) Oblicz kąty trójkąta \(ABC\).
Odpowiedź
**a)** \(A=(0,-5)\), \(B=(5,0)\), \(C=\left(-\frac{5\sqrt2}2,\frac{5\sqrt2}2\right)\).
**b)** Kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(45^\circ\), a kąty przy podstawie \(67{,}5^\circ\) każdy.
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Punkty \(A\) i \(B\) leżą jednocześnie na okręgu i na prostej, więc ich współrzędne spełniają układ
\[\begin{cases}x^{2}+y^{2}=25\\ y=x-5\end{cases}\]
Po podstawieniu \(x^{2}+(x-5)^{2}=25\), czyli \(2x^{2}-10x=0\) i \(x\in\{0,5\}\). Zatem \(A=(0,-5)\) oraz \(B=(5,0)\).
Trójkąt jest równoramienny o podstawie \(AB\), więc \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Symetralna cięciwy przechodzi przez środek okręgu, czyli przez początek układu, a jest prostopadła do \(AB\), więc ma równanie \(y=-x\). Podstawiając do równania okręgu, otrzymujemy \(2x^{2}=25\), czyli \(x=\pm\frac{5\sqrt2}2\). Warunek, by trójkąt był ostrokątny, spełnia ten punkt, który leży dalej od prostej \(AB\):
\[C=\left(-\frac{5\sqrt2}2,\frac{5\sqrt2}2\right).\]
**b)** Kąt środkowy \(AOB\) oparty na cięciwie \(AB\) jest prosty, bo \(\overrightarrow{OA}=[0,-5]\) i \(\overrightarrow{OB}=[5,0]\) są prostopadłe. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest połową kąta środkowego, więc
\[|\angle ACB|=45^{\circ}.\]
Pozostałe kąty, jako kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego, mają miarę
\[\frac{180^{\circ}-45^{\circ}}2=67{,}5^{\circ}.\]
**Odpowiedź.** \(A=(0,-5)\), \(B=(5,0)\), \(C=\left(-\frac{5\sqrt2}2,\frac{5\sqrt2}2\right)\); kąty trójkąta to \(45^\circ\), \(67{,}5^\circ\), \(67{,}5^\circ\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**11.1. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych punktów \(A\), \(B\): \(A=(0,-5)\), \(B=(5,0)\).
**11.2. (1 pkt)** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\): \(y=-x\).
**11.3. (2 pkt)** – obliczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=\left(\frac{-5\sqrt{2}}{2},\ \frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\).
**11.4. (1 pkt)** – obliczenie miar kątów trójkąta \(ABC\): \(45^{\circ}\), \(67{,}5^{\circ}\), \(67{,}5^{\circ}\).
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
