Równania i nierówności
Zadanie 39, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Dany jest kąt o mierze \(\alpha\) taki, że
\[\sin\alpha=\frac45\qquad\text{oraz}\qquad90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}.\]
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz **P**, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo **F**, jeśli jest fałszywe.
\(1\). Dla kąta o mierze \(\alpha\) spełnione jest równanie \(\cos\alpha=-\frac35\).
\(2\). Dla kąta o mierze \(\alpha\) spełnione jest równanie \(\lvert\tan\alpha\rvert=\frac34\).
Odpowiedź
**P, F.**
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\), kąt \(\alpha\) leży w drugiej ćwiartce, gdzie cosinus i tangens są ujemne. Z jedynki trygonometrycznej
\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac45\right)^2=\frac9{25},\]
więc \(\cos\alpha=-\frac35\). Pierwsze zdanie jest prawdziwe. Ponadto
\[\lvert\tan\alpha\rvert=\left\lvert\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right\rvert=\left\lvert\frac{4/5}{-3/5}\right\rvert=\frac43,\]
a nie \(\frac34\), więc drugie zdanie jest fałszywe.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **P, F**
**0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.1) Zdający wykorzystuje definicje sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów od \(0^{\circ}\) do \(180^{\circ}\).
VII.2) Korzysta z zależności \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) oraz \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).
