Funkcja kwadratowa
Zadanie 40, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
W trójkącie \(ABC\) dane są długości dwóch boków
\[\lvert AB\rvert=12,\qquad\lvert BC\rvert=8\]
oraz miara kąta
\[\lvert\angle ABC\rvert=60^{\circ}.\]
Oblicz długość środkowej tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka \(A\).
Odpowiedź
Długość środkowej wynosi \(4\sqrt7\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(D\) będzie środkiem boku \(BC\). Wtedy
\[\lvert BD\rvert=\frac12\lvert BC\rvert=4.\]
Stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie \(ABD\):
\[\lvert AD\rvert^2=\lvert AB\rvert^2+\lvert BD\rvert^2-2\lvert AB\rvert\lvert BD\rvert\cos60^{\circ}.\]
Zatem
\[\lvert AD\rvert^2=12^2+4^2-2\cdot12\cdot4\cdot\frac12=112,\]
więc
\[\lvert AD\rvert=\sqrt{112}=4\sqrt7.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne równanie wynikające z twierdzenia cosinusów i wynik \(\lvert AD\rvert=4\sqrt7\)
**1 pkt** – zapisanie poprawnego równania, np. \(\lvert AD\rvert^2=12^2+4^2-2\cdot12\cdot4\cos60^{\circ}\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.3) Zdający stosuje twierdzenie cosinusów.
VIII.12) Stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich.
