Funkcja kwadratowa
Zadanie 38, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości \(10\,\mathrm{m}\) (zobacz rysunek). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie \(580\,\mathrm{m}\), przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu.
Na rysunku wymiar poziomy każdej działki oznaczono przez \(y\), a wspólny wymiar pionowy przez \(x\).
Oblicz wymiary \(x\) oraz \(y\) każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.
Odpowiedź
Każda działka powinna mieć wymiary \(x=100\,\mathrm{m}\) oraz \(y=75\,\mathrm{m}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku dotyczącego długości płotu otrzymujemy
\[3x+4y-2\cdot10=580,\]
czyli
\[y=150-\frac34x.\]
Pole całej powierzchni magazynowej jest polem prostokąta o bokach \(x\) oraz \(2y\):
\[P=x\cdot2y.\]
Po podstawieniu zależności na \(y\) dostajemy
\[P(x)=2x\left(150-\frac34x\right)=-\frac32x^2+300x.\]
Warunki geometryczne \(x>0\) i \(y>10\) dają \(x\in(0,\frac{560}{3})\). Parabola jest skierowana ramionami w dół, więc maksimum przyjmuje w wierzchołku:
\[x_w=-\frac{300}{2\cdot(-\frac32)}=100.\]
Wtedy
\[y=150-\frac34\cdot100=75.\]
Zatem największe pole otrzymujemy dla \(x=100\,\mathrm{m}\) i \(y=75\,\mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów i wyniki \(x=100\,\mathrm{m}\), \(y=75\,\mathrm{m}\)
**3 pkt** – poprawny wzór na pole w zależności od jednej zmiennej oraz obliczenie \(x=100\,\mathrm{m}\)
**2 pkt** – zapisanie \(P(x)=2x(150-\frac34x)\) dla \(x\in(0,\frac{560}{3})\)
**1 pkt** – zapisanie \(P=x\cdot2y\) albo związku \(3x+4y-20=580\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych. IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii rozwiązywania zadań.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII. Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
