Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 21, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Kąt α jest rozwarty oraz \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). Cosinus kąta α jest równy
A. \(-\frac{4}{5}\)
B. \(-\frac{3}{4}\)
C. \(\frac{3}{4}\)
D. \(\frac{4}{5}\)
Podpowiedź
Najpierw wyznacz wartość bezwzględną cosinusa z jedynki trygonometrycznej, a znak dobierz z informacji, że kąt jest rozwarty.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Dla kąta rozwartego sinus jest dodatni, a cosinus ujemny.
Rozwiązanie
Z jedynki trygonometrycznej: \[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}.\] Stąd \(|\cos\alpha|=\frac{4}{5}\). Ponieważ \(\alpha\) jest kątem rozwartym, \(\cos\alpha<0\), więc \[\cos\alpha=-\frac{4}{5}.\]
Sprawdzenie
Wartości spełniają równanie \(\left(\frac35\right)^2+\left(-\frac45\right)^2=1\).
Odpowiedź
A. −\(\frac{4}{5}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z jedynki trygonometrycznej
\[\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-\tfrac{9}{25}=\tfrac{16}{25}.\]
Kąt \(\alpha\) jest rozwarty, a w drugiej ćwiartce cosinus jest ujemny, więc spośród dwóch pierwiastków wybieramy ujemny:
\[\cos\alpha=-\tfrac45.\]
**Odpowiedź.** A. \(-\dfrac45\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. VII.2) Zdający korzysta z tożsamości sin²α + cos²α = 1.
