Liczby rzeczywiste
Zadanie 18, próbna grudzień 2024, poziom podstawowy
Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz
\[\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{4}.\]
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Cosinus kąta o mierze \(\alpha\) jest równy
**A.** \(-\frac{\sqrt{13}}4\)
**B.** \(-\frac12\)
**C.** \(\frac12\)
**D.** \(\frac{\sqrt{13}}4\)
Odpowiedź
**A.** \(-\frac{\sqrt{13}}4\)
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z tożsamości
\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\]
Stąd
\[\cos^2\alpha=1-\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^2=1-\frac3{16}=\frac{13}{16}.\]
Zatem \(|\cos\alpha|=\frac{\sqrt{13}}4\). Kąt \(\alpha\) jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny:
\[\cos\alpha=-\frac{\sqrt{13}}4.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.2) Zdający korzysta ze wzoru \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
