Liczby rzeczywiste
Zadanie 18, maj 2024, poziom podstawowy
Dany jest kąt \(\alpha\) taki, że
\[\tan\alpha=-3\qquad\text{oraz}\qquad 90^\circ<\alpha<180^\circ.\]
**Wybierz dwie odpowiedzi spośród A-F i zaznacz je.**
**A.** \(\sin\alpha<0\)
**B.** \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0\)
**C.** \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha>0\)
**D.** \(\cos\alpha>0\)
**E.** \(\sin\alpha=-\frac13\cos\alpha\)
**F.** \(\sin\alpha=-3\cos\alpha\)
Odpowiedź
**B, F.**
Rozwiązanie krok po kroku
Kąt \(\alpha\) leży w drugiej ćwiartce, zatem
\[\sin\alpha>0\qquad\text{i}\qquad\cos\alpha<0.\]
Stąd \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0\), więc prawdziwa jest odpowiedź **B**.
Ponadto
\[\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-3.\]
Po pomnożeniu przez \(\cos\alpha\neq0\) otrzymujemy
\[\sin\alpha=-3\cos\alpha,\]
więc prawdziwa jest odpowiedź **F**.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne: **B** i **F**
**1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.1) Zdający wykorzystuje definicje funkcji trygonometrycznych, w tym tangensa, dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).
VII.2) Zdający korzysta z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) oraz \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).
