Zadanie 20 – matura z matematyki sierpień 2025, poziom podstawowy

**D.** Ze wzoru na sinus sumy: \[\sin30^{\circ}\cos60^{\circ}+\sin60^{\circ}\cos30^{\circ}=\sin90^{\circ}=1.\]

**Krok \(1\).** Wyrażenie ma postać \(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\) — to prawa strona wzoru na sinus sumy kątów. Można je policzyć na dwa sposoby: wprost, wstawiając znane wartości funkcji trygonometrycznych kątów \(30^\circ\) i \(60^\circ\), albo od razu ze wzoru. Zrobimy jedno i drugie. **Krok \(2\).** Wypisujemy potrzebne wartości z tablic: \[\sin30^\circ=\frac12,\qquad \cos60^\circ=\frac12,\qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.\] **Krok \(3\).** Pierwszy iloczyn: \[\sin30^\circ\cdot\cos60^\circ=\frac12\cdot\frac12=\frac14.\] **Krok \(4\).** Drugi iloczyn (mnożymy pierwiastek przez pierwiastek): \[\sin60^\circ\cdot\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3}{4}.\] **Krok \(5\).** Dodajemy: \[\frac14+\frac34=1.\] **Krok \(6\).** Ten sam wynik ze wzoru na sinus sumy: \[\sin30^\circ\cos60^\circ+\cos30^\circ\sin60^\circ=\sin(30^\circ+60^\circ)=\sin90^\circ=1.\] **Uwaga.** W kroku \(4\) łatwo pomylić się o pierwiastek: \(\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3}{4}\), bo \(\sqrt3\cdot\sqrt3=3\), a nie \(\sqrt3\). Wynik \(\frac{\sqrt3}{4}\) prowadziłby do błędnej odpowiedzi. **Odpowiedź.** D: \(1\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.1) Zdający wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus […] dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°.