Liczby rzeczywiste
Zadanie 17, próbna marzec 2026, poziom podstawowy
Kąt o mierze \(\alpha\) jest __rozwarty__ oraz \(\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}\).
**Oblicz wartość wyrażenia** \(\mathbf{\frac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha}}\)**. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[-\sqrt6.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z jedynki trygonometrycznej:
\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac13=\frac23.\]
Kąt \(\alpha\) jest rozwarty, więc \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt6}{3}\). Ponieważ \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), mamy
\[\frac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha}=3\cos\alpha=-\sqrt6.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(-\sqrt6\)
**1 pkt** – obliczenie \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt6}{3}\), albo \(\operatorname{tg}\alpha=-\frac{\sqrt2}{2}\), albo przekształcenie wyrażenia do postaci \(3\cos\alpha\)
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.2) Zdający korzysta ze wzorów \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) oraz \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).
