Zadanie 19 – matura z matematyki sierpień 2025, poziom podstawowy

**D.** Dla trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej \(13\) i przyprostokątnej \(5\) druga przyprostokątna ma długość \(12\). Zatem \(\tan\alpha=\frac{12}{5}\).

**Krok \(1\).** Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc możemy go umieścić w trójkącie prostokątnym i korzystać z definicji funkcji trygonometrycznych jako stosunków boków. Znamy cosinus, czyli stosunek przyprostokątnej leżącej **przy** kącie do przeciwprostokątnej — z tego odczytujemy dwa boki, a trzeci policzymy z twierdzenia Pitagorasa. **Krok \(2\).** Z równości \(\cos\alpha=\frac{5}{13}\) przyjmujemy: przyprostokątna przy kącie \(\alpha\) ma długość \(5\), a przeciwprostokątna \(13\). Szukaną (leżącą naprzeciw kąta) oznaczmy przez \(b\). **Krok \(3\).** Twierdzenie Pitagorasa (przeciwprostokątna to najdłuższy bok, czyli \(13\)): \[5^{2}+b^{2}=13^{2},\qquad 25+b^{2}=169,\qquad b^{2}=144.\] **Krok \(4\).** Długość boku jest dodatnia, więc \[b=\sqrt{144}=12.\] **Krok \(5\).** Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie: \[\tan\alpha=\frac{12}{5}.\] **Krok \(6\).** Kontrola inną drogą: \(\sin\alpha=\frac{12}{13}\), więc \[\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}=\frac{12}{13}\cdot\frac{13}{5}=\frac{12}{5}.\] **Uwaga.** W tangensie występują **dwie przyprostokątne**, przeciwprostokątna w ogóle się w nim nie pojawia. Ułamek \(\frac{12}{13}\) (odpowiedź B) to sinus, a \(\frac{5}{12}\) (odpowiedź A) to cotangens, czyli tangens odwrócony. **Odpowiedź.** D: \(\dfrac{12}{5}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.2) Zdający korzysta z wzorów \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).