Równania i nierówności
Zadanie 21.1, sierpień 2025, poziom podstawowy
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\) i o promieniu \(36\). Punkt \(S\) leży na odcinku \(BD\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(40^{\circ}\), a kąt \(DBC\) ma miarę \(65^{\circ}\) (zobacz rysunek).
Miara kąta ostrego \(BSA\) jest równa
**A.** \(20^{\circ}\)
**B.** \(40^{\circ}\)
**C.** \(50^{\circ}\)
**D.** \(80^{\circ}\)
Odpowiedź
**D.** Kąt środkowy \(BSA\) oparty na tym samym łuku co kąt wpisany \(BDA\) ma miarę \(2\cdot40^{\circ}=80^{\circ}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Punkty \(A\), \(B\), \(D\) leżą na okręgu, a \(S\) jest jego środkiem. Kąt \(BDA\) o wierzchołku \(D\) na okręgu to **kąt wpisany** oparty na łuku \(AB\), natomiast kąt \(BSA\) o wierzchołku w środku okręgu to **kąt środkowy** oparty na tym samym łuku. To rozpoznanie od razu wskazuje narzędzie: twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym.
**Krok \(2\).** Twierdzenie mówi, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:
\[|\angle BSA|=2\cdot|\angle BDA|=2\cdot40^\circ=80^\circ.\]
**Krok \(3\).** Warto zobaczyć, że ten sam wynik da się uzyskać bez tego twierdzenia. Odcinki \(SA\) i \(SD\) są promieniami, więc \(|SA|=|SD|=36\) i trójkąt \(ASD\) jest równoramienny.
**Krok \(4\).** W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe, a kąt \(SDA\) to nasz kąt \(BDA\) (bo punkt \(S\) leży na odcinku \(BD\), więc półprosta \(DS\) to ta sama półprosta co \(DB\)). Stąd
\[|\angle SAD|=|\angle SDA|=40^\circ.\]
**Krok \(5\).** Suma kątów trójkąta \(ASD\) wynosi \(180^\circ\), więc
\[|\angle ASD|=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ.\]
**Krok \(6\).** Ponieważ \(S\) leży na odcinku \(BD\), kąty \(ASD\) i \(ASB\) są przyległe i dopełniają się do kąta półpełnego:
\[|\angle BSA|=180^\circ-100^\circ=80^\circ.\]
**Uwaga.** Miara kąta \(DBC\) równa \(65^\circ\) oraz długość promienia \(36\) nie są w tym podpunkcie potrzebne — dotyczą pozostałej części zadania. Nadmiar danych to częsty zabieg; trzeba wybrać te, które opisują interesujący nas łuk.
**Odpowiedź.** D: \(80^\circ\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.5) Zdający stosuje własności kątów wpisanych i środkowych.
