Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 16, sierpień 2016, poziom podstawowy
Wartość wyrażenia
\[(\tan 60^\circ+\tan 45^\circ)^2-\sin 60^\circ\]
jest równa
**A.** \(2-\frac{3\sqrt3}{2}\)
**B.** \(2+\frac{\sqrt3}{2}\)
**C.** \(4-\frac{\sqrt3}{2}\)
**D.** \(4+\frac{3\sqrt3}{2}\)
Odpowiedź
**D.** \(4+\frac{3\sqrt3}{2}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W wyrażeniu występują wyłącznie funkcje trygonometryczne kątów \(60^\circ\) i \(45^\circ\), czyli kątów tablicowych. Zadanie sprowadza się więc do podstawienia znanych wartości i wykonania działań na liczbach niewymiernych.
**Krok \(2\).** Odczytujemy wartości:
\[\tan60^\circ=\sqrt3,\qquad \tan45^\circ=1,\qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.\]
**Krok \(3\).** Wstawiamy je do wyrażenia:
\[\left(\tan60^\circ+\tan45^\circ\right)^2-\sin60^\circ=\left(\sqrt3+1\right)^2-\frac{\sqrt3}{2}.\]
**Krok \(4\).** Rozwijamy kwadrat sumy wzorem \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):
\[\left(\sqrt3+1\right)^2=\left(\sqrt3\right)^2+2\cdot\sqrt3\cdot1+1^2=3+2\sqrt3+1=4+2\sqrt3.\]
**Krok \(5\).** Odejmujemy \(\frac{\sqrt3}{2}\):
\[4+2\sqrt3-\frac{\sqrt3}{2}.\]
**Krok \(6\).** Wyrazy z \(\sqrt3\) sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\[2\sqrt3-\frac{\sqrt3}{2}=\frac{4\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}.\]
**Krok \(7\).** Ostatecznie wyrażenie jest równe \(4+\frac{3\sqrt3}{2}\).
**Uwaga.** Kwadrat obejmuje całą sumę \(\tan60^\circ+\tan45^\circ\), a nie tylko pierwszy składnik. Pominięcie wyrazu \(2ab=2\sqrt3\) daje liczbę \(4\) zamiast \(4+2\sqrt3\) i prowadzi do błędnej odpowiedzi.
**Odpowiedź.** D: \(4+\frac{3\sqrt3}{2}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź D
**0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - wartości funkcji trygonometrycznych kątów szczególnych.
