Liczby rzeczywiste
Zadanie 19, próbna grudzień 2024, poziom podstawowy
W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(7{,}5\). Krótsza przekątna \(AC\) ma długość równą \(6\) i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).
**Oblicz pole trapezu \(ABCD\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[P_{ABCD}=22{,}14.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąty prostokątne \(ABC\) i \(CAD\) są podobne. Odpowiadające sobie boki spełniają zależność
\[\frac{|CD|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|AB|}.\]
Zatem
\[\frac{|CD|}{6}=\frac6{7{,}5},\qquad |CD|=4{,}8.\]
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ACD\):
\[|AD|^2=|AC|^2-|CD|^2=6^2-4{,}8^2=12{,}96,\]
więc
\[|AD|=3{,}6.\]
Pole trapezu jest równe
\[P_{ABCD}=\frac12(|AB|+|CD|)\cdot|AD|\]
\[=\frac12(7{,}5+4{,}8)\cdot3{,}6=22{,}14.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik \(P_{ABCD}=22{,}14\)
**3 pkt** – obliczenie \(|AD|=3{,}6\) oraz \(|CD|=4{,}8\); albo obliczenie pól trójkątów \(P_{ABC}=13{,}5\) i \(P_{CAD}=8{,}64\)
**2 pkt** – obliczenie jednej z długości \(|AD|=3{,}6\), \(|CD|=4{,}8\); albo pola \(P_{ABC}=13{,}5\)
**1 pkt** – obliczenie \(|BC|=4{,}5\); albo zapisanie poprawnej proporcji wynikającej z podobieństwa trójkątów, na przykład \(\frac{|CD|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|AB|}\); albo zapisanie równoważnej zależności umożliwiającej dalsze rozwiązanie
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.8) Zdający korzysta z cech podobieństwa trójkątów. SP
IX.2) Zdający stosuje wzory na pole trójkąta i trapezu, także do wyznaczania długości odcinków.
