Liczby rzeczywiste
Zadanie 17.2, próbna grudzień 2024, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym
\[|AC|=\sqrt{15}\qquad\text{i}\qquad|BC|=8.\]
Na przyprostokątnej \(AB\) leży taki punkt \(D\), że \(|BD|=6\) (zobacz rysunek).
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Tangens kąta ostrego \(ADC\) jest równy
**A.** \(\sqrt{15}\)
**B.** \(\frac12\)
**C.** \(\frac78\)
**D.** \(\frac{\sqrt{15}}8\)
Odpowiedź
**A.** \(\sqrt{15}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Najpierw z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\):
\[|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2,\]
\[|AB|^2+15=64,\qquad |AB|=7.\]
Ponieważ \(|BD|=6\), mamy
\[|AD|=|AB|-|BD|=7-6=1.\]
W trójkącie prostokątnym \(ADC\):
\[\tan\angle ADC=\frac{|AC|}{|AD|}=\frac{\sqrt{15}}1=\sqrt{15}.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.1) Zdający wykorzystuje definicję tangensa dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).
