Liczby rzeczywiste
Zadanie 16, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy
Dane są dwa kąty o miarach \(\alpha\) oraz \(\beta\), spełniające warunki
\[\alpha\in(0^\circ,180^\circ),\qquad\tan\alpha=-\frac23,\]
\[\beta\in(0^\circ,180^\circ),\qquad\cos\beta=\frac1{\sqrt{10}}.\]
Na rysunkach A-F zaznaczono różne kąty. Jedno ramię każdego kąta pokrywa się z dodatnią półosią \(Ox\), a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) albo \(F\) (zobacz rysunki).
**Uzupełnij tabelę. Wybierz właściwe odpowiedzi spośród A-F.**
**\(16\).\(1\).** Kąt \(\alpha\) jest zaznaczony na rysunku ... .
**\(16\).\(2\).** Kąt \(\beta\) jest zaznaczony na rysunku ... .
Odpowiedź
**\(16\).\(1\). B; \(16\).\(2\). D**
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(\tan\alpha<0\) i \(\alpha\in(0^\circ,180^\circ)\), kąt \(\alpha\) leży w drugiej ćwiartce. Dla punktu \(B=(-3,2)\) mamy
\[\tan\alpha=\frac{2}{-3}=-\frac23,\]
więc poprawny jest rysunek **B**.
Ponieważ \(\cos\beta>0\), kąt \(\beta\) leży w pierwszej ćwiartce. Dla punktu \(D=(1,3)\) długość promienia wynosi \(\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\), zatem
\[\cos\beta=\frac1{\sqrt{10}}.\]
Poprawny jest rysunek **D**.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – dwie poprawne odpowiedzi: **B** i **D**
**1 pkt** – jedna poprawna odpowiedź
**0 pkt** – odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.1 wykorzystywanie definicji cosinusa i tangensa dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).
