Liczby rzeczywiste
Zadanie 17, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz
\[\sin\alpha=\frac{\sqrt5}{3}.\]
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Tangens kąta \(\alpha\) jest równy
**A.** \(\frac{\sqrt5}{2}\)
**B.** \(\frac23\)
**C.** \(\frac{2\sqrt5}{5}\)
**D.** \(\frac{3\sqrt5}{5}\)
Odpowiedź
**A.** \(\frac{\sqrt5}{2}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\). Z tożsamości trygonometrycznej
\[\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac59}=\frac23.\]
Zatem
\[\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{\sqrt5}{3}}{\frac23}=\frac{\sqrt5}{2}.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **A**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.1 i VII.2 wykorzystywanie definicji funkcji trygonometrycznych oraz zależności \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) i \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).
