Inne zagadnienia
Zadanie 4, próbna grudzień 2014, poziom rozszerzony
Każda liczba \(x\) należąca do przedziału otwartego
\[x\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)\]
spełnia nierówność
**A.** \(\operatorname{tg}x>\sin x\)
**B.** \(\cos x>\sin x\)
**C.** \(\cos x>\operatorname{tg}x\)
**D.** \(\operatorname{tg}x>\cos x\)
Odpowiedź
**C.** \(\cos x>\operatorname{tg}x\)
Rozwiązanie krok po kroku
Dla \(x\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)\) kąt leży w drugiej ćwiartce, więc
\[\sin x>0,\qquad \cos x<0,\qquad \operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}<0.\]
Dokładniej: \(\cos x\in\left(-\frac{\sqrt2}{2},0\right)\), a tangens maleje od \(-\infty\) do \(\operatorname{tg}\frac{3\pi}{4}=-1\), czyli \(\operatorname{tg}x\in(-\infty,-1)\).
Stąd \(\operatorname{tg}x<-1<-\frac{\sqrt2}{2}<\cos x\), a więc \(\cos x>\operatorname{tg}x\). Pozostałe nierówności są fałszywe, bo w A i D po lewej stronie stoi liczba ujemna, a po prawej odpowiednio dodatnia i większa, zaś w B jest \(\cos x<0<\sin x\).
**Odpowiedź.** C. \(\cos x>\operatorname{tg}x\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymaganie szczegółowe:**
R6.4) Zdający posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych (np. przy rozwiązywaniu nierówności typu \(\sin x>a\), \(\cos x\leq a\), \(\operatorname{tg}x>a\)).
