Inne zagadnienia
Zadanie 6, próbna grudzień 2014, poziom rozszerzony
Dane są liczby \(a,b\) takie, że
\[a-b=4\qquad\text{oraz}\qquad ab=7.\]
Oblicz
\[a^3b+ab^3.\]
Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
\[a^3b+ab^3=210.\]
Kodujemy kolejno cyfry: \(2\), \(1\), \(0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:
\[a^3b+ab^3=ab\left(a^{2}+b^{2}\right).\]
Iloczyn \(ab\) jest dany, brakuje sumy kwadratów. Wyznaczamy ją ze wzoru skróconego mnożenia
\[(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},\qquad\text{czyli}\qquad a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab.\]
Podstawiamy dane \(a-b=4\) oraz \(ab=7\):
\[a^{2}+b^{2}=4^{2}+2\cdot7=16+14=30.\]
Stąd
\[a^3b+ab^3=7\cdot30=210.\]
W pola odpowiedzi wpisujemy kolejno cyfrę setek, dziesiątek i jedności liczby \(210\).
**Odpowiedź.** \(210\); kodujemy \(2\), \(1\), \(0\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – odpowiedź całkowicie poprawna: \(210\)
**0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
G6.6, 2.1) Zdający wyłącza wspólny czynnik z wyrazów sumy algebraicznej poza nawias oraz używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^{2}\) i \(a^{2}-b^{2}\).
