Inne zagadnienia
Zadanie 3, próbna grudzień 2014, poziom rozszerzony
Funkcja określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem
\[f(x)=x^5+5x-1\]
**A.** ma więcej niż dwa minima lokalne.
**B.** ma dokładnie dwa minima lokalne.
**C.** ma dokładnie jedno minimum lokalne.
**D.** nie ma minimum lokalnego.
Odpowiedź
**D.** nie ma minimum lokalnego.
Rozwiązanie krok po kroku
Minimum lokalne może wystąpić tylko tam, gdzie pochodna zeruje się i zmienia znak z ujemnego na dodatni. Obliczamy pochodną:
\[f'(x)=5x^4+5=5\left(x^4+1\right).\]
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) mamy \(x^4\geq0\), więc \(x^4+1\geq1>0\), a zatem \(f'(x)>0\) na całej dziedzinie.
Pochodna nie ma miejsc zerowych, więc warunek konieczny istnienia ekstremum nie jest spełniony w żadnym punkcie. Funkcja jest ściśle rosnąca i nie ma ekstremów lokalnych.
**Odpowiedź.** D. nie ma minimum lokalnego.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymaganie szczegółowe:**
R11.4) Zdający korzysta z własności pochodnej do wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji.
