Zadanie 20 – matura z matematyki czerwiec 2026, poziom podstawowy

Oznaczmy \(\alpha=\lvert\angle CAB\rvert\) i \(\beta=\lvert\angle ABE\rvert\). Z równości \(DB=DE\) wynika, że trójkąt \(DBE\) jest równoramienny, więc \(\lvert\angle BED\rvert=\lvert\angle DBE\rvert=\beta\) i \(\lvert\angle EDB\rvert=180^{\circ}-2\beta\). Ponieważ \(BE\) jest środkową, punkt \(E\) jest środkiem przeciwprostokątnej \(AC\) w trójkącie prostokątnym \(ADC\), zatem \(AE=DE\) i \(\lvert\angle EAD\rvert=\lvert\angle ADE\rvert=\alpha\). Kąty \(ADE\) i \(EDB\) są przyległe, więc \(\alpha+(180^{\circ}-2\beta)=180^{\circ}\), stąd \(\alpha=2\beta\).

Oznaczmy \(\alpha=\lvert\angle CAB\rvert\) i \(\beta=\lvert\angle ABE\rvert\). Odcinek \(CD\) jest wysokością, więc trójkąt \(ADC\) jest prostokątny o kącie prostym przy \(D\), a \(AC\) jest jego przeciwprostokątną. Odcinek \(BE\) jest środkową, więc \(E\) jest środkiem \(AC\). W trójkącie prostokątnym środek przeciwprostokątnej jest równo oddalony od wszystkich wierzchołków, zatem \[\lvert DE\rvert=\lvert AE\rvert=\lvert EC\rvert=\tfrac12\lvert AC\rvert.\] Z \(\lvert AE\rvert=\lvert DE\rvert\) trójkąt \(ADE\) jest równoramienny, więc \[\lvert\angle ADE\rvert=\lvert\angle DAE\rvert=\alpha.\] Z założenia \(\lvert DB\rvert=\lvert DE\rvert\), więc trójkąt \(DBE\) jest równoramienny i \[\lvert\angle DEB\rvert=\lvert\angle DBE\rvert=\beta.\] Kąt \(ADE\) jest kątem zewnętrznym trójkąta \(DBE\) przy wierzchołku \(D\) (punkt \(D\) leży na odcinku \(AB\)), więc jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych: \[\alpha=\lvert\angle ADE\rvert=\lvert\angle DBE\rvert+\lvert\angle DEB\rvert=2\beta,\] co należało wykazać. **Odpowiedź.** \(\lvert\angle CAB\rvert=2\lvert\angle ABE\rvert\)

1 pkt: zapisanie AE = DE, ∠EAD = ∠ADE, ∠BED = ∠DBE albo równoważnej zależności ∠ADE = 2·∠ABE. 2 pkt: przeprowadzenie pełnego rozumowania dowodzącego ∠CAB = 2·∠ABE.

IV. Rozumowanie i argumentacja. VIII.11) Zdający przeprowadza dowody geometryczne.